a) Se suminfty^infty cn 4^n for convergente, quais das séries a seguir é certamente convergente?
(i) sumn=0^infty cn(-2)^n
(ii) sumn=0^infty cn(-4)^n
b) Suponha que sumn=0^infty cn x^n converge quando x=-4 e diverge quando x=6. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
(i) sumn=0^infty cn
(ii) sumn=0^infty cn 8^n
(iii) sumn=0^infty cn(-3)^n
(iv) sumn=0^infty(-1)^n cn 9^n.

Passo 1

O enunciado trata de uma série de potências
sumn=0^infty cnx^n
e nos dá informações de convergência em certos valores de x. O conteúdo principal é o conceito de raio de convergência R, que satisfaz:
  1. Se lvert xrvert < R, a série converge.
  2. Se lvert xrvert > R, a série diverge.
  3. Se lvert xrvert = R, não sabemos sem informação adicional.
    Vamos usar esses fatos para responder as partes (a) e (b).

Passo 2

(a) Diz-se que sum cn4^n converge. Isso equivale a afirmar que a série de potências converge em x=4, logo
R >= 4
Qualquer x com lvert xrvert <4 estará dentro do disco de convergência.

Passo 3

Ainda em (a), analisamos as duas séries:
(i) sum cn(-2)^n corresponde a x=-2, e lvert -2rvert=2<4. Logo lvert xrvert<R e a série converge com certeza.
(ii) sum cn(-4)^n corresponde a x=-4, com lvert -4rvert=4=R. Na fronteira lvert xrvert=R não temos garantia geral de convergência, pois depende do comportamento limite dos coeficientes.

Passo 4

(b) Agora temos que a série converge em x=-4 e diverge em x=6. Isso significa
R >= 4 e R < 6,
ou seja, 4<= R<6.

Passo 5

Com 4<= R<6, aplicamos as regras de convergência/divergência:
(i) sum cn é a série em x=1. Como lvert 1rvert<4<= R, converge.
(ii) sum cn8^n é a série em x=8. Como lvert 8rvert>6>R, diverge.
(iii) sum cn(-3)^n é a série em x=-3. Como lvert -3rvert=3<4<= R, converge.
(iv) sum(-1)^ncn9^n equivale a x=-9. Como lvert -9rvert=9>6>R, diverge.

Resposta

(a) somente (i) converge com certeza.
(b)
(i) converge,
(ii) diverge,
(iii) converge,
(iv) diverge.

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