a) Se
for convergente, quais das séries a seguir é certamente convergente?
(i)
(ii)
b) Suponha que
converge quando
e diverge quando
. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
.
(i)
(ii)
b) Suponha que
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
O enunciado trata de uma série de potências
e nos dá informações de convergência em certos valores de
. O conteúdo principal é o conceito de raio de convergência
, que satisfaz:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, não sabemos sem informação adicional.
Vamos usar esses fatos para responder as partes (a) e (b).
Passo 2
(a) Diz-se que
converge. Isso equivale a afirmar que a série de potências converge em
, logo
Qualquer
com
estará dentro do disco de convergência.
Passo 3
Ainda em (a), analisamos as duas séries:
(i) corresponde a
, e
. Logo
e a série converge com certeza.
(ii) corresponde a
, com
. Na fronteira
não temos garantia geral de convergência, pois depende do comportamento limite dos coeficientes.
(i)
(ii)
Passo 4
(b) Agora temos que a série converge em
e diverge em
. Isso significa
ou seja,
.
Passo 5
Com
, aplicamos as regras de convergência/divergência:
(i) é a série em
. Como
, converge.
(ii) é a série em
. Como
, diverge.
(iii) é a série em
. Como
, converge.
(iv) equivale a
. Como
, diverge.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Resposta
(a) somente (i) converge com certeza.
(b)
(i) converge,
(ii) diverge,
(iii) converge,
(iv) diverge.
(b)
(i) converge,
(ii) diverge,
(iii) converge,
(iv) diverge.