Questão 2. (Separáveis) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^2+1-t^2 y y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^2 + 1 - t^2,y,y' = 0
onde y'=dy/dt. Este é um caso de equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever dy/dt em função de t multiplicado por expressão que depende só de y.

Passo 2

Reescrevendo a EDO em termos de dy/dt, temos
t^2,y,dydt = y^2+1 Longrightarrow dydt = y^2+1t^2,y

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro:
yy^2+1,dy = 1t^2,dt

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral yy^2+1,dy = integral t^-2,dt
No lado esquerdo fazemos a substituição u=y^2+1, obtendo
integral yy^2+1,dy =12lnl(y^2+1r),
enquanto no direito
integral t^-2,dt = -1t + C

Passo 5

Igualando os resultados das integrais,
12lnl(y^2+1r) = -1t + C
ou seja
lnl(y^2+1r) = -2t + C1,
com C1=2C.

Passo 6

Exponenciando, chegamos à forma implícita
y^2+1 = K,e^-2/t,
onde K=e^C1 é constante arbitrária. Portanto
y^2 = K,e^-2/t - 1 Longrightarrow y(t) = pmraizK,e^-2/t - 1

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = pmraizK,e^-2/t - 1,
onde K é constante de integração.

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