Um pião gira com aceleração angular α(t)=5,000 t^{3}-4,000 t, onde t está em segundos e a aceleração angular em rad / s^{2}. Em t=2,00 s a velocidade angular do pião é 17,00 rad / s e uma reta de referencia traçada no pião está na posição angular 14,67 rad.
Qual a posição angular do disco no tempo 8,7 s ?
Resposta: □

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração angular em função do tempo é \alpha(t)=5{,}000\,t^{3}-4{,}000\,t (unidade: \mathrm{rad/s^{2}}).
    • Em t=2{,}00\\ \mathrm{s} a velocidade angular é \omega(2)=17{,}00\\ \mathrm{rad/s}.
    • Em t=2{,}00\\ \mathrm{s} a posição angular é \theta(2)=14{,}67\\ \mathrm{rad}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a posição angular do disco no tempo t=8{,}7\\ \mathrm{s}, ou seja encontrar \theta(8{,}7).

Passo 2

Relações físicas e estratégia matemática (aulas rápidas e intuitivas).
  • Relações entre grandezas rotacionais:
    • A aceleração angular é a derivada da velocidade angular: \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}.
    • A velocidade angular é a derivada da posição angular: \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}.
  • Como proceder:
    1. Integrar \alpha(t) para obter \omega(t), aparecendo uma constante de integração C.
    2. Usar a condição inicial \omega(2)=17{,}00 para determinar C.
    3. Integrar \omega(t) para obter \theta(t), aparecendo outra constante D.
    4. Usar \theta(2)=14{,}67 para determinar D.
    5. Avaliar \theta(8{,}7).
  • Rápida lição de cálculo: integrar um polinômio a t^{n} \dfrac{a}{n+1}t^{n+1}. É isso que vamos aplicar.

Passo 3

Integrar a aceleração para obter a velocidade angular.
  • Começo com \alpha(t)=5{,}000\,t^{3}-4{,}000\,t.
  • Integro em relação a t:
\omega(t)=\int \alpha(t)\,dt=\int \bigl(5{,}000\,t^{3}-4{,}000\,t\bigr)\,dt.
  • Calculando termo a termo:
    • \int 5{,}000\,t^{3}\,dt = 5{,}000\cdot \dfrac{t^{4}}{4}=1{,}250\,t^{4}.
    • \int -4{,}000\,t\,dt = -4{,}000\cdot \dfrac{t^{2}}{2}=-2{,}000\,t^{2}.
  • Adicionando a constante de integração C:
\omega(t)=1{,}250\,t^{4}-2{,}000\,t^{2}+C.

Passo 4

Determinar a constante C usando \omega(2)=17{,}00.
  • Avalio \omega(2):
\omega(2)=1{,}250\cdot 2^{4}-2{,}000\cdot 2^{2}+C.
  • Calculo os termos:
    • 2^{4}=16, então 1{,}250\cdot 16=20{,}000.
    • 2^{2}=4, então 2{,}000\cdot 4=8{,}000.
  • Portanto
\omega(2)=20{,}000-8{,}000+C=12{,}000+C.
  • Como \omega(2)=17{,}00, temos
12{,}000 + C = 17{,} \quad \Rightarrow \quad C = 17-12{,}000 = -11{,}983.
  • Conclusão:
\omega(t)=1{,}250\,t^{4}-2{,}000\,t^{2}-11{,}983.

Passo 5

Integrar \omega(t) para obter \theta(t).
  • Integro \omega(t):
\theta(t)=\int \omega(t)\,dt = \int \bigl(1{,}250\,t^{4}-2{,}000\,t^{2}-11{,}983\bigr)\,dt.
  • Integrações termo a termo:
    • \int 1{,}250\,t^{4}\,dt = 1{,}250\cdot \dfrac{t^{5}}{5}=250\,t^{5}.
    • \int -2{,}000\,t^{2}\,dt = -2{,}000\cdot \dfrac{t^{3}}{3}=-\dfrac{2{,}000}{3}\,t^{3}.
    • \int -11{,}983\,dt = -11{,}983\,t.
  • Adicionando a constante D:
\theta(t)=250\,t^{5}-\dfrac{2{,}000}{3}\,t^{3}-11{,}983\,t + D.

Passo 6

Determinar a constante D usando \theta(2)=14{,}67.
  • Avalio \theta(2):
\theta(2)=250\cdot 2^{5}-\dfrac{2{,}000}{3}\cdot 2^{3}-11{,}983\cdot 2 + D.
  • Calculo os termos:
    • 2^{5}=32, então 250\cdot 32=8{,}000.
    • 2^{3}=8, então \dfrac{2{,}000}{3}\cdot 8=\dfrac{16{,}000}{3}.
    • 11{,}983\cdot 2 = 23{,}966.
  • Assim
\theta(2)=8{,}000-\dfrac{16{,}000}{3}-23{,}966 + D.
  • Combine os dois termos inteiros: 8{,}000-23{,}966=-15{,}966. Em forma fracionária:
-15{,}966-\dfrac{16{,}000}{3} = -\dfrac{47{,}898}{3}-\dfrac{16{,}000}{3} = -\dfrac{63{,}898}{3}.
  • Então \theta(2) = -\dfrac{63{,}898}{3} + D.
  • Igualando a 14{,}67:
-\dfrac{63{,}898}{3} + D = 14{,}67 \quad\Rightarrow\quad D = 14{,}67 + \dfrac{63{,}898}{3}.
  • Valor numérico de D:
    • \dfrac{63{,}898}{3}=21{,}299{,}333\ldots.
    • Logo D\approx 21{,}299{,}333+14{,}67=21{,}314{,}003333\ldots.
  • Conclusão:
\theta(t)=250\,t^{5}-\dfrac{2{,}000}{3}\,t^{3}-11{,}983\,t + D,
com D\approx 21{,}314{,}003333.

Passo 7

Avaliar \theta(8{,}7) fazendo os cálculos passo a passo (sem pular contas).
  • Primeiro calcule potências de t=8{,}7:
    • t^{2}=8{,}7^{2}=75{,}69.
    • t^{3}=75{,}69\cdot 8{,}7=658{,}503.
    • t^{5}=t^{3}\cdot t^{2}=658{,}503\cdot 75{,}69=49{,}842{,}09207 (valor com várias casas).
  • Agora calcule cada termo da expressão:
    • 250\,t^{5}=250\cdot 49{,}842{,}09207=12{,}460{,}523{,}0175.
    • \dfrac{2{,}000}{3}\,t^{3}=\dfrac{2{,}000}{3}\cdot 658{,}503=\dfrac{1{,}317{,}006}{3}=439{,}002.
    • 11{,}983\,t=11{,}983\cdot 8{,}7=104{,}252{,}1.
    • D\approx 21{,}314{,}003333.
  • Monte a expressão
\theta(8{,}7)=12{,}460{,}523{,}0175 - 439{,}002 - 104{,}252{,}1 + 21{,}314{,}003333.
  • Realizando as subtrações e soma:
    • 12{,}460{,}523{,}0175 - 439{,}002 = 12{,}021{,}521{,}0175.
    • 12{,}021{,}521{,}0175 - 104{,}252{,}1 = 11{,}917{,}268{,}9175.
    • 11{,}917{,}268{,}9175 + 21{,}314{,}003333 = 11{,}938{,}582{,}9208333.
  • Resultado numérico (arredondando razoavelmente):
\theta(8{,}7)\approx 11{,}938{,}582{,}921\\ \mathrm{rad}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo.
  • O valor é muito grande porque a aceleração angular é um polinômio de ordem alta com coeficientes grandes: integrando duas vezes isso cresce rapidamente com o tempo.
  • Está tudo certo: as contas foram feitas analiticamente, usando integrais de polinômios e as condições iniciais.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — é chato ver números gigantes, mas é só seguir passos de integração e usar as condições iniciais. Você conseguiu!

Resposta

\theta(8{,}7)\approx 11{,}938{,}582{,}921\\ \mathrm{rad}

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