Um pião gira com aceleração angular
, onde t está em segundos e a aceleração angular em
. Em
a velocidade angular do pião é
e uma reta de referencia traçada no pião está na posição angular
.
Qual a posição angular do disco no tempo
?
Resposta: □
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- A aceleração angular em função do tempo é
(unidade: ). - Em
a velocidade angular é . - Em
a posição angular é .
- A aceleração angular em função do tempo é
-
O que o problema pede:
- Determinar a posição angular do disco no tempo
, ou seja encontrar .
- Determinar a posição angular do disco no tempo
Passo 2
Relações físicas e estratégia matemática (aulas rápidas e intuitivas).
-
Relações entre grandezas rotacionais:
- A aceleração angular é a derivada da velocidade angular:
. - A velocidade angular é a derivada da posição angular:
.
- A aceleração angular é a derivada da velocidade angular:
-
Como proceder:
- Integrar
para obter , aparecendo uma constante de integração . - Usar a condição inicial
para determinar . - Integrar
para obter , aparecendo outra constante . - Usar
para determinar . - Avaliar
.
- Integrar
-
Rápida lição de cálculo: integrar um polinômio
dá . É isso que vamos aplicar.
Passo 3
Integrar a aceleração para obter a velocidade angular.
- Começo com
. - Integro em relação a
:
- Calculando termo a termo:
-
. -
.
-
- Adicionando a constante de integração
:
Passo 4
Determinar a constante
usando
.
- Avalio
:
- Calculo os termos:
-
, então . -
, então .
-
- Portanto
- Como
, temos
- Conclusão:
Passo 5
Integrar
para obter
.
- Integro
:
- Integrações termo a termo:
-
. -
. -
.
-
- Adicionando a constante
:
Passo 6
Determinar a constante
usando
.
- Avalio
:
- Calculo os termos:
-
, então . -
, então . -
.
-
- Assim
- Combine os dois termos inteiros:
. Em forma fracionária:
- Então
. - Igualando a
:
- Valor numérico de
: -
. - Logo
.
-
- Conclusão:
com
.
Passo 7
Avaliar
fazendo os cálculos passo a passo (sem pular contas).
- Primeiro calcule potências de
: -
. -
. -
(valor com várias casas).
-
- Agora calcule cada termo da expressão:
-
. -
. -
. -
.
-
- Monte a expressão
- Realizando as subtrações e soma:
-
. -
. -
.
-
- Resultado numérico (arredondando razoavelmente):
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo.
- O valor é muito grande porque a aceleração angular é um polinômio de ordem alta com coeficientes grandes: integrando duas vezes isso cresce rapidamente com o tempo.
- Está tudo certo: as contas foram feitas analiticamente, usando integrais de polinômios e as condições iniciais.
- Bom trabalho por chegar até aqui — é chato ver números gigantes, mas é só seguir passos de integração e usar as condições iniciais. Você conseguiu!