Ar quente escoa a uma vazão mássica de 0,05 kg / s em um tubo feito com folha metálica, sem isolamento térmico, com diâmetro D=0,15 m , que se encontra no porão de uma casa. O ar quente entra a 103^circ C e, após uma distância de L=5 m, se esfria atingindo 77^circ C. O coeficiente de transferência de calor entre a superfície externa do tubo e o ar ambiente, a Tinfty=0^circ C, é igual a he=6 W /(m^2 K).
Determine o fluxo térmico e a temperatura na superfície do tubo e m x=L.

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos ar quente (𝑚̇=0,05 kg/s) correndo dentro de um tubo de diâmetro D=0,15 m, sem isolação, enterrado num porão. Ele entra a 103 °C e sai a 77 °C depois de L=5 m. Fora, o ar ambiente está a 0 °C e o coeficiente de troca convectiva é ℎₑ=6 W/(m²·K).
Conteúdo: transferência de calor por convecção e balanço de energia no fluido.
O que vamos usar:
• Equação de balanço de energia do fluido: 𝑚̇ cₚ dT/dx = –ℎₑ P [T(x)–T_∞]
• Resolução de ODE para T(x)
• Q̇ =𝑚̇ cₚ (T_in–T_out)
• Assumir cₚ≈1005 J/(kg·K) para o ar

Passo 2

Vamos montar o balanço de energia em um fatia infinitesimal de comprimento dx do tubo.
– A vazão de energia que sai no fluido é
 dQ̇ = 𝑚̇ cₚ dT
– O calor removido pela convecção na parede exterior é
 dQ̇ = –ℎₑ P [T_s(x)–T_∞] dx
Como o tubo é de chapa fina e bem condutor, desprezamos a resistência interna, então a temperatura do fluido e da superfície são praticamente iguais:
 T_s(x)≈T(x)

Passo 3

Igualando as duas expressões de dQ̇:
 𝑚̇ cₚ dT/dx = –ℎₑ P [T(x)–T_∞]
Isso é uma ODE linear separável. P é o perímetro do tubo:
 P = π D

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de x=0 (T=T_in) até x=L (T=T_out):
 ∫_{T_in}^{T_out} dT/[T–T_∞] = – (ℎₑ P)/(𝑚̇ cₚ) ∫_{0}^{L} dx
⇒ ln[ (T_out–T_∞)/(T_in–T_∞) ] = –(ℎₑ P L)/(𝑚̇ cₚ)

Passo 5

Primeiro, calculamos P:
 P = π·0,15 = 0,471 m
E o denominador 𝑚̇ cₚ ≈0,05·1005 = 50,25 W/K
Agora podemos ou:
a) Conferir que o RHS dá o fator observado entre (T_out–T_∞)/(T_in–T_∞)
b) Calcular Q̇ direto por Q̇ = 𝑚̇ cₚ (T_in–T_out)
Vamos pelo (b):
 Q̇ = 0,05 kg/s · 1005 J/(kg·K) · (103–77) K
 Q̇ = 0,05·1005·26 ≈ 1307 W

Passo 6

Como desprezamos a resistência entre fluido e parede, Ts(x)≈T(x). Logo, na saída x=L:
 T_s(L) ≈ T_out = 77 °C

Resposta

Fluxo térmico retirado do ar:
 Q̇ ≈ 1,31 kW
Temperatura da superfície no ponto x=L:
 T_s(L) ≈ 77 °C

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