Ar quente escoa a uma vazão mássica de
em um tubo feito com folha metálica, sem isolamento térmico, com diâmetro
m , que se encontra no porão de uma casa. O ar quente entra a
C e, após uma distância de
, se esfria atingindo
. O coeficiente de transferência de calor entre a superfície externa do tubo e o ar ambiente,
, é igual
.
Determine o fluxo térmico e a temperatura na superfície do tubo
.
Determine o fluxo térmico e a temperatura na superfície do tubo
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos ar quente (𝑚̇=0,05 kg/s) correndo dentro de um tubo de diâmetro D=0,15 m, sem isolação, enterrado num porão. Ele entra a 103 °C e sai a 77 °C depois de L=5 m. Fora, o ar ambiente está a 0 °C e o coeficiente de troca convectiva é ℎₑ=6 W/(m²·K).
Conteúdo: transferência de calor por convecção e balanço de energia no fluido.
O que vamos usar:
• Equação de balanço de energia do fluido: 𝑚̇ cₚ dT/dx = –ℎₑ P [T(x)–T_∞]
• Resolução de ODE para T(x)
• Q̇ =𝑚̇ cₚ (T_in–T_out)
• Assumir cₚ≈1005 J/(kg·K) para o ar
Conteúdo: transferência de calor por convecção e balanço de energia no fluido.
O que vamos usar:
• Equação de balanço de energia do fluido: 𝑚̇ cₚ dT/dx = –ℎₑ P [T(x)–T_∞]
• Resolução de ODE para T(x)
• Q̇ =𝑚̇ cₚ (T_in–T_out)
• Assumir cₚ≈1005 J/(kg·K) para o ar
Passo 2
Vamos montar o balanço de energia em um fatia infinitesimal de comprimento dx do tubo.
– A vazão de energia que sai no fluido é
dQ̇ = 𝑚̇ cₚ dT
– O calor removido pela convecção na parede exterior é
dQ̇ = –ℎₑ P [T_s(x)–T_∞] dx
Como o tubo é de chapa fina e bem condutor, desprezamos a resistência interna, então a temperatura do fluido e da superfície são praticamente iguais:
T_s(x)≈T(x)
– A vazão de energia que sai no fluido é
dQ̇ = 𝑚̇ cₚ dT
– O calor removido pela convecção na parede exterior é
dQ̇ = –ℎₑ P [T_s(x)–T_∞] dx
Como o tubo é de chapa fina e bem condutor, desprezamos a resistência interna, então a temperatura do fluido e da superfície são praticamente iguais:
T_s(x)≈T(x)
Passo 3
Igualando as duas expressões de dQ̇:
𝑚̇ cₚ dT/dx = –ℎₑ P [T(x)–T_∞]
Isso é uma ODE linear separável. P é o perímetro do tubo:
P = π D
𝑚̇ cₚ dT/dx = –ℎₑ P [T(x)–T_∞]
Isso é uma ODE linear separável. P é o perímetro do tubo:
P = π D
Passo 4
Separamos variáveis e integramos de x=0 (T=T_in) até x=L (T=T_out):
∫_{T_in}^{T_out} dT/[T–T_∞] = – (ℎₑ P)/(𝑚̇ cₚ) ∫_{0}^{L} dx
⇒ ln[ (T_out–T_∞)/(T_in–T_∞) ] = –(ℎₑ P L)/(𝑚̇ cₚ)
∫_{T_in}^{T_out} dT/[T–T_∞] = – (ℎₑ P)/(𝑚̇ cₚ) ∫_{0}^{L} dx
⇒ ln[ (T_out–T_∞)/(T_in–T_∞) ] = –(ℎₑ P L)/(𝑚̇ cₚ)
Passo 5
Primeiro, calculamos P:
P = π·0,15 = 0,471 m
E o denominador 𝑚̇ cₚ ≈0,05·1005 = 50,25 W/K
Agora podemos ou:
a) Conferir que o RHS dá o fator observado entre (T_out–T_∞)/(T_in–T_∞)
b) Calcular Q̇ direto por Q̇ = 𝑚̇ cₚ (T_in–T_out)
P = π·0,15 = 0,471 m
E o denominador 𝑚̇ cₚ ≈0,05·1005 = 50,25 W/K
Agora podemos ou:
a) Conferir que o RHS dá o fator observado entre (T_out–T_∞)/(T_in–T_∞)
b) Calcular Q̇ direto por Q̇ = 𝑚̇ cₚ (T_in–T_out)
Vamos pelo (b):
Q̇ = 0,05 kg/s · 1005 J/(kg·K) · (103–77) K
Q̇ = 0,05·1005·26 ≈ 1307 W
Q̇ = 0,05 kg/s · 1005 J/(kg·K) · (103–77) K
Q̇ = 0,05·1005·26 ≈ 1307 W
Passo 6
Como desprezamos a resistência entre fluido e parede, Ts(x)≈T(x). Logo, na saída x=L:
T_s(L) ≈ T_out = 77 °C
T_s(L) ≈ T_out = 77 °C
Resposta
Fluxo térmico retirado do ar:
Q̇ ≈ 1,31 kW
Temperatura da superfície no ponto x=L:
T_s(L) ≈ 77 °C
Q̇ ≈ 1,31 kW
Temperatura da superfície no ponto x=L:
T_s(L) ≈ 77 °C