(valor \mathbf{3 , 0} pontos) A parede de um forno é constituída de uma camada de 0,3 \mathrm{~m} de um refratário cuja condutividade térmica é uma função da temperatura ( \mathrm{k}=0,0015 \mathrm{~T}+0,001 ). A temperatura na face interna do refratário é 950^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{T}_{1}\right) e na face externa é 50^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{T}_{2}\right). Calcular o fluxo de calor pela parede (q").
Dados:
\begin{aligned} & q_{x}=-k A \frac{d T}{d x} \\\ & q_{x}{ }^{\prime \prime}=\frac{q_{x}}{A} \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o fluxo de calor por área (densidade de fluxo térmico) através da parede do refratário, ou seja \;q''\;.\n
Dados fornecidos:
\;L=0{,}3\\ \mathrm{m}\; (espessura da parede),
\;T_1=950^\circ\mathrm{C}\; (temperatura na face interna, x=0),
\;T_2=50^\circ\mathrm{C}\; (temperatura na face externa, x=L),
a condutividade térmica dependente da temperatura \;k(T)=0{,}0015\,T+0{,}001\; (a unidade implícita é \mathrm{W/(m\cdot K)} e T está em ^\circ\mathrm{C} conforme dado).
A equação básica fornecida é \;q_x=-kA\frac{dT}{dx}\; e sua forma por unidade de área \;q''=\frac{q_x}{A}=-k\frac{dT}{dx}\;.

Passo 2

Conceito e manipulação inicial (explicação didática): em regime estacionário 1D, a densidade de fluxo \;q''\; é constante ao longo de x. Partindo de
q''=-k(T)\frac{dT}{dx},
podemos separar as variáveis para integrar: isolamos dx e dT,
dx = -\frac{k(T)}{q''}\,dT.
Aqui \;q''\; é a incógnita (constante), k(T) é a função linear dada e x varia de 0 a L enquanto T varia de T_1 a T_2.

Passo 3

Integração entre os limites físicos: integramos a expressão acima de x=0 até x=L e de T=T_1 até T=T_2:
\int_{0}^{L} dx = -\frac{1}{q''}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
A integral do lado esquerdo vale L. Rearranjando para q'' obtemos
q'' = -\frac{1}{L}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
Como normalmente preferimos integrar do menor para o maior, podemos trocar os limites e inverter o sinal:
q'' = \frac{1}{L}\int_{T_2}^{T_1} k(T)\,dT.
Interpretação de sinal: assim obtém-se q''>0 quando o fluxo é do lado quente ( T_1) para o frio ( T_2).

Passo 4

Substituição de k(T) na integral e cálculo simbólico: usando \;k(T)=0{,}0015\,T+0{,}001\; temos
q''=\frac{1}{L}\int_{T_2}^{T_1}\bigl(0{,}0015\,T+0{,}001\bigr)\,dT.
A primitiva de 0{,}0015\,T+0{,}001 em relação a T é
\int \bigl(0{,}0015\,T+0{,}001\bigr)\,dT = 0{,}0015\frac{T^2}{2}+0{,}001\,T.
Portanto, aplicando os limites T_2 até T_1,
\int_{T_2}^{T_1} k(T)\,dT = 0{,}0015\frac{T_1^2-T_2^2}{2} + 0{,}001\,(T_1-T_2).

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo das parcelas: primeiro as diferenças numéricas
T_1^2-T_2^2 = 950^2-50^2 = 902500-2500 = 900000.
Agora a primeira parcela:
0{,}0015\frac{900000}{2} = 0{,}0015\times 450000 = 675.
A segunda parcela:
0{,}001\,(T_1-T_2)=0{,}001\times(950-50)=0{,}001\times 900 = 0{,}9.
Somando:
\int_{T_2}^{T_1} k(T)\,dT = 675 + 0{,}9 = 675{,}9.

Passo 6

Divisão por L e resultado final do fluxo por unidade de área: usando \;L=0{,}3\\ \mathrm{m}\;,
q''=\frac{675{,}9}{0{,}3}=2253{,}0\\ \mathrm{W/m^2}.
Significado físico: o valor positivo indica fluxo de calor saindo da face interna mais quente ( T_1) em direção à face externa mais fria ( T_2). Observação: usamos T em ^\circ\mathrm{C} consistentemente com a expressão de k(T) dada — isso é válido porque a função foi fornecida em termos de T nessas unidades.

Resposta

\displaystyle q''=2253{,}0\\ \mathrm{W/m^{2}}

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