Um fluido está disposto entre duas placas planas e paralelas. A placa inferior é móvel e está conectada a um peso por um cabo que passa por uma polia. A placa superior é fixa. O espaçamento entre as placas é de 5 mm e a massa conectada ao prato é de 0,001 \mathrm{~kg}. A área de cada placa em contato com o fluido é de 0,5 \mathrm{~m}^{2}. Calcule a velocidade da placa para cada uma das situações a seguir, onde o líquido é:
pasta de dente ( \tau_{\circ}=4 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, \mu_{\circ}=0.004 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) agora para uma massa de 0,5 \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade da placa móvel quando o líquido entre as placas é pasta de dente e a massa ligada à placa é 0,5\\ \mathrm{kg}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{espaçamento entre as placas: } h = 5\\ \text{mm} = 0,005\\ \mathrm{m},\\\ &\text{massa ligada: } m = 0,5\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{área da placa em contato com o fluido: } A = 0,5\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{pasta de dente: } \tau_0 = 4\\ \mathrm{N/m}^2,\quad \mu_0 = 0,004\\ \mathrm{N\cdot s/m}^2,\\\ &\text{aceleração da gravidade (adotada): } g = 9,81\\ \mathrm{m/s}^2. \end{aligned}çáçã

Passo 2

Entendendo a força que age sobre a placa: o peso mg puxa a placa para baixo através do cabo, gerando uma força de tração F = mg. Essa força, distribuída sobre a área A, produz uma tensão de cisalhamento (shear stress) aplicada ao fluido dada por
\tau = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A}.
Aqui \tau tem unidades de \mathrm{N/m}^2. Vou calcular \tau numericamente no próximo passo.

Passo 3

Cálculo da tensão aplicada \tau:
m g = 0,5\cdot 9,81 = 4,905\\ \mathrm{N},
\tau = \frac{mg}{A} = \frac{4,905}{0,5} = 9,81\\ \mathrm{N/m}^2.

Passo 4

Modelo reológico da pasta de dente: ela é descrita aqui como um fluido do tipo Bingham (plástico de Bingham), que tem uma tensão de escoamento (yield stress) e uma viscosidade plástica. A lei constitutiva é
\tau = \tau_0 + \mu_0\,\dot{\gamma}\quad\text{para }\tau>\tau_0,
onde
  • \tau é a tensão de cisalhamento aplicada,
  • \tau_0 é a tensão de escoamento (yield stress),
  • \mu_0 é a viscosidade plástica,
  • \dot{\gamma} é a taxa de cisalhamento (shear rate), que para escoamento simples entre placas é a derivada de velocidade perpendicular às placas.
Se \tau \le \tau_0, o material não escoa e a velocidade relativa é zero.

Passo 5

No escoamento de Couette simples entre duas placas paralelas (placa superior fixa, placa inferior movendo-se com velocidade U), a taxa de cisalhamento é constante e vale
\dot{\gamma} = \frac{U}{h},
onde h é a separação entre as placas. Substituindo na lei de Bingham obtemos, quando \tau>\tau_0,
\tau = \tau_0 + \mu_0\frac{U}{h}.
Isolando U,
U = \frac{(\tau-\tau_0)\,h}{\mu_0}.
Essa é a fórmula que usaremos para encontrar a velocidade da placa.

Passo 6

Primeiro verificamos se a tensão aplicada excede a tensão de escoamento:
\tau = 9,81\\ \mathrm{N/m}^2,\qquad \tau_0 = 4\\ \mathrm{N/m}^2,
logo \tau > \tau_0. Portanto a pasta de dente escoa e a fórmula do Passo 5 é aplicável.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
\tau-\tau_0 = 9,81 - 4 = 5,81\\ \mathrm{N/m}^2,
(\tau-\tau_0)\,h = 5,81\cdot 0,005 = 0,02905\\ \mathrm{N/m},
U = \frac{0,02905}{0,004} = 7,2625\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais (suficiente para uma resposta de prova):
U \approx 7,26\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

U \approx 7,26\\ \mathrm{m/s}

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