Um fluido está disposto entre duas placas planas e paralelas. A placa inferior é móvel e está conectada a um peso por um cabo que passa por uma polia. A placa superior é fixa. O espaçamento entre as placas é de 5 mm e a massa conectada ao prato é de
. A área de cada placa em contato com o fluido é de
. Calcule a velocidade da placa para cada uma das situações a seguir, onde o líquido é:
pasta de dente (
) agora para uma massa de
.
pasta de dente (
Passo 1
O enunciado pede a velocidade da placa móvel quando o líquido entre as placas é pasta de dente e a massa ligada à placa é
. Dados fornecidos:
Passo 2
Entendendo a força que age sobre a placa: o peso
puxa a placa para baixo através do cabo, gerando uma força de tração
. Essa força, distribuída sobre a área
, produz uma tensão de cisalhamento (shear stress) aplicada ao fluido dada por
Aqui
tem unidades de
. Vou calcular
numericamente no próximo passo.
Passo 3
Cálculo da tensão aplicada
:
Passo 4
Modelo reológico da pasta de dente: ela é descrita aqui como um fluido do tipo Bingham (plástico de Bingham), que tem uma tensão de escoamento (yield stress) e uma viscosidade plástica. A lei constitutiva é
onde
-
é a tensão de cisalhamento aplicada, -
é a tensão de escoamento (yield stress), -
é a viscosidade plástica, -
é a taxa de cisalhamento (shear rate), que para escoamento simples entre placas é a derivada de velocidade perpendicular às placas.
Se
, o material não escoa e a velocidade relativa é zero.
Passo 5
No escoamento de Couette simples entre duas placas paralelas (placa superior fixa, placa inferior movendo-se com velocidade
), a taxa de cisalhamento é constante e vale
onde
é a separação entre as placas. Substituindo na lei de Bingham obtemos, quando
,
Isolando
,
Essa é a fórmula que usaremos para encontrar a velocidade da placa.
Passo 6
Primeiro verificamos se a tensão aplicada excede a tensão de escoamento:
logo
. Portanto a pasta de dente escoa e a fórmula do Passo 5 é aplicável.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Arredondando com duas casas decimais (suficiente para uma resposta de prova):