Um resfriador de óleo de um grande motor a diesel deve resfriar óleo de 60^{\circ} \mathrm{C} para 45^{\circ} \mathrm{C}, empregando água do mar a temperatura de entrada 20^{\circ} \mathrm{C}, com uma elevação da temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}. A carga térmica do projeto é \mathrm{Q}=140 \mathrm{~kW} e o coeficiente global de transferência de calor médio, baseado na superfície externa dos tubos é 70 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a área da superfície de transferência de calor num escoamento de passe único em:
(b) correntes paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície de transferência de calor para um resfriador (escoamento de passe único) operando em correntes paralelas. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Temperatura do óleo (quente) na entrada: } T_{h,i}=60^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura do óleo (quente) na saída: } T_{h,o}=45^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura da água do mar (fria) na entrada: } T_{c,i}=20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Elevação da temperatura da água: } \Delta T_{c}=15^\circ\mathrm{C}\\ \Rightarrow\\ T_{c,o}=T_{c,i}+\Delta T_{c}=35^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Carga térmica: } Q=140\\ \mathrm{kW}=140000\\ \mathrm{W},\\\ &\text{Coeficiente global médio (baseado na área externa dos tubos): } U=70\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}. \end{aligned}óóíáçãáééá
O objetivo numérico: encontrar a área A tal que o trocador transfira Q dadas essas temperaturas, no regime de correntes paralelas.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando como funciona, passo a passo): em trocadores de calor sem mudança de fase e com transferência resistida pela superfície, a potência térmica trocada pode ser escrita como
Q = U\,A\,\Delta T_{lm},
onde
  • Q é a carga térmica (potência trocada), em \mathrm{W};
  • U é o coeficiente global de transferência de calor, em \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)};
  • A é a área de troca, em \mathrm{m^2} (é o que queremos);
  • \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD), que representa a diferença média efetiva de temperatura entre os fluidos ao longo do trocador.
Para correntes paralelas (ambos os fluidos entram no mesmo extremo e saem no outro), a LMTD é calculada por
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
com
\Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,i},\qquad \Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,o}.
Explicando em palavras: \Delta T_1 é a diferença de temperatura no ponto de entrada dos dois fluidos; \Delta T_2 é a diferença no ponto de saída. A fórmula dá a média logarítmica que leva em conta a variação exponencial típica da diferença de temperaturas ao longo do trocador.

Passo 3

Calcular \Delta T_1 e \Delta T_2 usando os dados listados no Passo 1:
\Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,i}=60^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=40^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,o}=45^\circ\mathrm{C}-35^\circ\mathrm{C}=10^\circ\mathrm{C}.
Ou seja, no começo a diferença é \,40^\circ\mathrm{C} e no fim é \,10^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a LMTD substituindo \Delta T_1 e \Delta T_2 na fórmula:
\Delta T_{lm}=\frac{40^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}}{\ln\!\left(\dfrac{40^\circ\mathrm{C}}{10^\circ\mathrm{C}}\right)} =\frac{30^\circ\mathrm{C}}{\ln(4)}.
Agora avaliar numericamente \ln(4). Sabemos que
\ln(4)\approx 1,3863,
portanto
\Delta T_{lm}\approx \frac{30^\circ\mathrm{C}}{1,3863}\approx 21,62^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: a diferença média efetiva ao longo do trocador é cerca de \,21,62^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Agora usamos a equação Q=U A \Delta T_{lm} e isolamos A:
A=\frac{Q}{U\,\Delta T_{lm}}.
Substituindo os valores (lembre que Q=140000\\ \mathrm{W}, U=70\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)} e \Delta T_{lm}\approx 21,62^\circ\mathrm{C}):
A=\frac{140000}{70\cdot 21,62}\\ \mathrm{m^2}.
Calcule o denominador:
70\cdot 21,62 \approx 1513,4\\ \mathrm{W/m^2}.
Logo
A\approx \frac{140000}{1513,4}\\ \mathrm{m^2}\approx 92,55\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida para a prova: a área necessária é aproximadamente \,92{,}6\\ \mathrm{m^2}. Na hora da prova, memorize a fórmula Q=U A \Delta T_{lm} e a expressão da LMTD; calcule sempre \Delta T_1 e \Delta T_2 com cuidado (quem é entrada e quem é saída) e verifique unidades (kW → W). Se pedirem counterflow, use as mesmas diferenças mas trocando a forma de \Delta T_1 e \Delta T_2 adequadas ao caso.

Resposta

A\approx 92{,}55\\ \mathrm{m}^2

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