Querosene é misturado com 10 pés { }^{3} de álcool etílico de modo que o volume da mistura no tanque torna-se 14 pés ^{3}. Determine o peso específico e a densidade relativa da mistura. Considere: \mathrm{g}=32,2 pés / \mathrm{s}^{2} e \gamma_{\text {água }}=62,4 \mathrm{lbf} /á pés ^{3}. ( 1,5 pontos).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Volume de álcool etílico misturado: V_{\text{álcool}} = 10\\ \text{ft}^3á.
  • Volume total da mistura no tanque: V_{\text{mistura}} = 14\\ \text{ft}^3.
  • Constante gravitacional dada: g = 32,2\\ \text{ft}/\text{s}^2.
  • Peso específico da água fornecido: \gamma_{\text{água}} = 62,4\\ \text{lbf}/\text{ft}^3á.
O que o problema pede:
  • Determinar o peso específico (peso por unidade de volume) da mistura: \gamma_{\text{mistura}}.
  • Determinar a densidade relativa (gravidade específica) da mistura: \text{SG}_{\text{mistura}} (relação com a água).
Observação imediata de volumes: o volume de querosene é
V_{\text{querosene}} = V_{\text{mistura}} - V_{\text{álcool}} = 14 - 10 = 4\\ \text{ft}^3.á

Passo 2

Dados que não foram explicitamente fornecidos no enunciado (valores padrão usados em muitos problemas práticos) — é necessário assumir a gravidade específica (densidade relativa à água) dos componentes para calcular seus pesos específicos. Vou adotar valores padrão aproximados e explico por que:
  • Gravidade específica do álcool etílico (etanol) à temperatura ambiente: \text{SG}_{\text{álcool}} = 0{,}789á (valor tabulado aproximado).
  • Gravidade específica do querosene: \text{SG}_{\text{querosene}} = 0{,}820 (valor tabulado aproximado).
Esses são valores típicos de referência; se o seu enunciado de prova der outros valores, substitua-os onde eu usar \text{SG}_{\text{álcool}}á e \text{SG}_{\text{querosene}}.
Relação para converter gravidade específica em peso específico:
\gamma = \text{SG}\cdot \gamma_{\text{água}}.á

Passo 3

Calcular o peso específico (peso por volume) de cada componente usando \gamma = \text{SG}\cdot\gamma_{\text{água}}á.
Para o álcool:
\gamma_{\text{álcool}} = 0{,}789 \times 62{,}4 = 49{,}2336\\ \text{lbf}/\text{ft}^3.á
Para o querosene:
\gamma_{\text{querosene}} = 0{,}820 \times 62{,}4 = 51{,}168\\ \text{lbf}/\text{ft}^3.
Explicando: \gamma tem unidades de \text{lbf}/\text{ft}^3 — ele diz quantos libras-força (peso) há por pé cúbico do fluido. Multiplicar a gravidade específica (adimensional) pelo peso específico da água dá o peso específico do fluido.

Passo 4

Fórmula para o peso total (força peso) de cada componente:
W_i = \gamma_i \, V_i.
Peso total da mistura:
W_{\text{total}} = W_{\text{álcool}} + W_{\text{querosene}} = \gamma_{\text{álcool}}V_{\text{álcool}} + \gamma_{\text{querosene}}V_{\text{querosene}}.ááá
Peso específico da mistura (peso por unidade de volume total):
\gamma_{\text{mistura}} = \frac{W_{\text{total}}}{V_{\text{mistura}}} = \frac{\gamma_{\text{álcool}}V_{\text{álcool}} + \gamma_{\text{querosene}}V_{\text{querosene}}}{V_{\text{mistura}}}.áá
Essa fórmula é direta: é uma média ponderada dos pesos específicos dos componentes, ponderada pelos volumes.

Passo 5

Calcular os pesos parciais e o peso total:
Peso do álcool:
W_{\text{álcool}} = \gamma_{\text{álcool}} V_{\text{álcool}} = 49{,}2336 \times 10 = 492{,}336\\ \text{lbf}.ááá
Peso do querosene:
W_{\text{querosene}} = \gamma_{\text{querosene}} V_{\text{querosene}} = 51{,}168 \times 4 = 204{,}672\\ \text{lbf}.
Peso total:
W_{\text{total}} = 492{,}336 + 204{,}672 = 697{,}008\\ \text{lbf}.
Agora o peso específico da mistura:
\gamma_{\text{mistura}} = \frac{697{,}008}{14} = 49{,}7862857\\ \text{lbf}/\text{ft}^3.
Arredondando para três algarismos significativos:
\gamma_{\text{mistura}} \approx 49{,}79\\ \text{lbf}/\text{ft}^3.

Passo 6

Calcular a densidade relativa (gravidade específica) da mistura:
\text{SG}_{\text{mistura}} = \frac{\gamma_{\text{mistura}}}{\gamma_{\text{água}}} = \frac{49{,}7862857}{62{,}4} = 0{,}79784\ldotsá
Arredondando:
\text{SG}_{\text{mistura}} \approx 0{,}798.
Interpretação didática curta: a mistura tem peso específico menor que o da água (como era esperado, ambos álcool e querosene flutuam na água) e a gravidade específica menor que 1, aqui cerca de 0{,}798.
Dica rápida para prova: sempre calcule volumes individuais primeiro (aqui 4\\ \text{ft}^3 de querosene), depois use média ponderada dos pesos específicos. Se o enunciado der gravidade específica ao invés de peso específico, converta com \gamma=\text{SG}\cdot\gamma_{\text{água}}á.

Resposta

\gamma_{\text{mistura}} \approx 49{,}79\\ \text{lbf}/\text{ft}^3
\text{SG}_{\text{mistura}} \approx 0{,}798

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