(Ques. 10 do Cap. 23 - Física 3 Young & Freedman - 12a Edição)
Caso o potencial elétrico seja conhecido somente em um único ponto, o campo elétrico E desse ponto pode ser determinado? Em caso positivo, como? Em caso negativo, por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta se, conhecendo-se o potencial elétrico V num único ponto do espaço, é possível determinar ali o campo elétrico E. O conteúdo envolvido é a relação entre potencial e campo elétrico via derivadas espaciais.

Passo 2

Da teoria de eletrostática sabemos que o campo elétrico é dado pelo gradiente negativo do potencial:
E = -nabla V ,
Isso significa que cada componente do campo exige uma derivada parcial de V em relação às coordenadas espaciais.

Passo 3

Para definir a derivada parcial, por exemplo em x, usamos
partial Vpartial x = limDe<a x to 0V(x+De<a x,y,z)-V(x,y,z)De<a x,
Ou seja, precisamos conhecer V em pontos distintos — ao menos num vizinho infinitesimal — para avaliar essa diferença.

Passo 4

Se temos informação de V apenas num único ponto, não há como calcular nenhuma diferença de potencial em direções x, y ou z. Sem essas variações, não se obtém derivadas parciais e, portanto, não se determina nabla V.

Resposta

Não. Como E=-nabla V, é preciso conhecer variações de V em torno do ponto (diferenças de potencial) para calcular o gradiente; um único valor isolado de V não fornece essa informação.

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