Um certo campo elétrico é dado por
E=rc E0(ra)^3 r, & 0<r<a 0, & r>a
Utilizando a lei de Gauss em forma diferencial, determine a densidade da carga volumétrica rho(r).
Obs: Utilizar nabla cdot A=1r^2 partialpartial r(r^2 Ar); sendo A=Ar r.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico radial em coordenadas esféricas
E(r)= E0l(rar)^3hat r, & 0<r<a, 0, & r>a,
e pede a densidade volumétrica rho(r) usando a forma diferencial da lei de Gauss
nablacdotE=rhovarepsilon0,
além da fórmula de divergência para um campo radial
nablacdotA=1r^2partialpartial rl(r^2Arr)

Passo 2

Para 0<r<a, temos Er=E0(r/a)^3. Aplicando
nablacdotE =1r^2partialpartial rl(r^2Err) =1r^2partialpartial rl[r^2E0l(rar)^3r],
note que
r^2l(rar)^3=r^5a^-3,
então
nablacdotE =E0a^31r^2ddrl(r^5r) =E0a^31r^2cdot5r^4 =5E0,r^2a^3

Passo 3

Usando nablacdotE=rho/varepsilon0, obtemos para 0<r<a
rho(r)=varepsilon0l(nablacdotEr) =5varepsilon0E0,r^2a^3

Passo 4

Para r>a, o campo E=0 é nulo e, portanto,
nablacdotE=0 Longrightarrow rho(r)=0

Resposta

rho(r)= 5varepsilon0E0,dfracr^2a^3, & 0<r<a,[6pt] 0, & r>a ]

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