QUESIÃO 3 (2 pontos)
Um eixo maciço de 70 mm de diămetro tem tensão admissivel de cisalhamento de 100 Mpa . Determine: a) o torque máximo que pode ser aplicado; b) idem ao item a, considerando que o eixo maciço deve ser substituido por um eixo vazado de mesma área da seçăo transversal e com um diámetro interno igual à metade do diâmetro externo.

Passo 1

O enunciado pede o torque máximo que um eixo maciço de diâmetro 70 mm e tensão admissível de cisalhamento \tau_{adm}=100 MPa pode suportar, usando a fórmula do torque em torção uniforme. Em seguida, substituímos esse eixo por um eixo vazado que tenha a mesma área de seção transversal e cujo diâmetro interno seja metade do diâmetro externo. Para isso vamos:
  1. Calcular o momento polar de inércia J do eixo maciço e o torque correspondente.
  2. Igualar a área da seção maciça à área da seção do eixo vazado para encontrar o diâmetro externo D.
  3. Calcular o momento polar de inércia do eixo vazado e o torque máximo para ele.

Passo 2

Para o eixo maciço de diâmetro d=70 mm, o momento polar de inércia é dado por
J_s = \frac{\pi d^4}{32}.
Substituindo d=70 mm:
J_s = \frac{\pi\,(70)^4}{32} \approx \frac{\pi \times 24{,}010{,}000}{32} \approx 2{,}356{,}4\times10^3\;\text{mm}^4.

Passo 3

O torque máximo em um eixo sujeito à tensão de cisalhamento uniforme é
T = \tau_{adm}\,\frac{J}{R},
onde R=d/2. Para o maciço:
R = \frac{70}{2} = 35\;\text{mm},\quad \tau_{adm}=100\;\text{MPa}=100\;\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}.
Logo,
T_s = 100\;\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\;\frac{2{,}356{,}4\times10^3\;\text{mm}^4}{35\;\text{mm}} \approx 6{,}73\times10^6\;\text{N\cdotmm} =6{,}73\times10^3\;\text{N\cdotm}.

Passo 4

Para o eixo vazado, seja D o diâmetro externo e d_i = D/2 o interno. A área da seção do vazado deve igualar a do maciço:
\frac{\pi}{4}\bigl(D^2 - d_i^2\bigr) =\frac{\pi}{4}\,70^2.
Como d_i^2=(D/2)^2=D^2/4, temos
\frac{\pi}{4}\Bigl(D^2 - \frac{D^2}{4}\Bigr) =\frac{\pi}{4}\,70^2 \;\Longrightarrow\; \frac{3\pi D^2}{16}=\frac{\pi\;70^2}{4} \;\Longrightarrow\; D^2=\frac{70^2\cdot4}{3}=\frac{19{,}600}{3} \;\Longrightarrow\; D\approx80{,}8\;\text{mm}.

Passo 5

O momento polar de inércia do eixo vazado é
J_h = \frac{\pi}{32}\bigl(D^4 - d_i^4\bigr) =\frac{\pi}{32}\Bigl(D^4 - \bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^4\Bigr) =\frac{15\pi D^4}{512}.
Substituindo D\approx80{,}8 mm:
D^4\approx(80{,}8)^4\approx4{,}27\times10^7, \quad J_h\approx\frac{15\pi\times4{,}27\times10^7}{512} \approx3{,}93\times10^6\;\text{mm}^4.

Passo 6

O raio externo é R_h=D/2\approx40{,}4 mm, então o torque máximo no eixo vazado é
T_h = 100\;\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\; \frac{3{,}93\times10^6\;\text{mm}^4}{40{,}4\;\text{mm}} \approx9{,}72\times10^6\;\text{N\cdotmm} =9{,}72\times10^3\;\text{N\cdotm}.

Resposta

a) T_{\max}\approx6{,}73\times10^3 N\cdot m.
b) Para o eixo vazado, T_{\max}\approx9{,}72\times10^3 N\cdot m.

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