QUEST. 1) Considere um sistema constituído por uma distribuição linear e infinita de cargas com densidade \rho_{0} (Coulombs/m) constante, distribuída ao longo de todo o eixo y, e uma distribuição superficial e infinita de cargas com densidade \rho_{0} (Coulombs / \mathrm{m}^{2} ) constante no plano z= \frac{5}{2}. Com base nestas informações, faça os itens descritos em seguida. (\mathbf{3 , 0})
a) Determine o campo elétrico no ponto \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}, \mathrm{z}_{0}\right) devido à distribuição linear de cargas, em coordenadas cartesianas. (1,0)
b) Determine o campo elétrico em um ponto \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) genérico, devido à distribuição linear de cargas, em coordenadas cilíndricas. O resultado deve ser escrito em função das variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y} e \mathrm{z} .(1,0)
c) Determine o campo elétrico resultante nos pontos P_{1}(2,-1,3) e P_{2}(3,-1,2). ( 1,0 )

Passo 1

O enunciado dá duas distribuições de carga:
  • Uma distribuição linear, infinita, com densidade linear de carga \rho_{0} (C/m) ao longo de todo o eixo y. Ou seja, uma linha de carga coincide com o eixo y passando pela origem.
  • Uma distribuição superficial, infinita, com densidade superficial \rho_{0} (C/m ^2) no plano z=\tfrac{5}{2}.
O que se pede:
a) Determinar o campo elétrico no ponto P(\mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0},\mathrm{z}_{0}) devido somente à distribuição linear de cargas, em coordenadas cartesianas.
b) Determinar o campo elétrico em um ponto genérico P(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}) devido somente à distribuição linear de cargas, escrevendo o resultado em coordenadas cilíndricas e, em seguida, em função de \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}.
c) Determinar o campo elétrico resultante nos pontos P_{1}(2,-1,3) e P_{2}(3,-1,2) devido à superposição da linha infinita (eixo y) e da placa infinita no plano z=\tfrac{5}{2}.

Passo 2

Conceito e método para o campo da linha infinita (aula rápida): usar a Lei de Gauss.
  • Lei de Gauss (forma integral): \displaystyle \oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}. Aqui Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada, \epsilon_{0} a permissividade do vácuo.
  • Para uma linha de carga infinita e uniforme é conveniente escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha. Por simetria o campo tem módulo que depende só da distância radial s até o eixo y (ou seja só de s=\sqrt{x^{2}+z^{2}}), é radial no plano x\!-\!z e não tem componente ao longo de y.
Detalhes do cálculo (passo a passo):
  1. Tome uma superfície cilíndrica de raio s e comprimento L, coaxial com a linha de carga. A carga interna é Q_{\text{int}}=\rho_{0}L.
  2. O fluxo só passa pela superfície lateral (tampas não contribuem porque \mathbf{E} é paralelo às tampas). Sobre a lateral, |\mathbf{E}|=E(s) é constante e dA=L\,ds_{\text{ang}} total da lateral é 2\pi s L. Então
E(s)\,2\pi s L=\frac{\rho_{0}L}{\epsilon_{0}}.
  1. Cancelando L obtém-se o módulo
E(s)=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}\,s}.
Direção: radial no plano x\!-\!z saindo da linha (para \rho_{0}>0). Em notação vetorial com versores cartesianos a unidade radial \hat{\mathbf{s}} (no plano x\!-\!z) é
\hat{\mathbf{s}}=\frac{x\,\hat{\mathbf{x}}+z\,\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}.

Passo 3

Aplicando o resultado ao item (a): campo num ponto P(\mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0},\mathrm{z}_{0}) em coordenadas cartesianas.
  • A distância radial até o eixo y é s_{0}=\sqrt{\mathrm{x}_{0}^{2}+\mathrm{z}_{0}^{2}}.
  • O módulo do campo é E(s_{0})=\dfrac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}s_{0}}.
  • A direção radial (no plano x\!-\!z) tem componentes proporcionais a \mathrm{x}_{0} e \mathrm{z}_{0}.
Portanto, o campo devido apenas à linha em P(\mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0},\mathrm{z}_{0}) é
\mathbf{E}_{\text{linha}}( \mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0},\mathrm{z}_{0} ) = \frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\, \frac{\mathrm{x}_{0}\,\hat{\mathbf{x}}+\mathrm{z}_{0}\,\hat{\mathbf{z}}} {\mathrm{x}_{0}^{2}+\mathrm{z}_{0}^{2}}.
Observações: não há componente em \hat{\mathbf{y}}; se \rho_{0}<0 o campo aponta para a linha (sinal trocado).

Passo 4

Item (b): escrever o campo em coordenadas cilíndricas e expressá-lo em função de \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}.
  • Em coordenadas cilíndricas (escolhendo o eixo axial coincidente com o eixo y) usa-se s=\sqrt{x^{2}+z^{2}} e o versor radial \hat{\mathbf{s}}=(x\hat{\mathbf{x}}+z\hat{\mathbf{z}})/s. Em função de s:
\mathbf{E}_{\text{linha}}(s)=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}s}\,\hat{\mathbf{s}}.
  • Reescrevendo em termos de x,y,z (para uso em coordenadas cartesianas), substitui \hat{\mathbf{s}}:
\mathbf{E}_{\text{linha}}(x,y,z) = \frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\, \frac{x\,\hat{\mathbf{x}}+z\,\hat{\mathbf{z}}}{x^{2}+z^{2}}.
Esse é o resultado pedido em (b): expressão em coordenadas cilíndricas (forma com s) e em seguida escrita em função de x,y,z. Observação: nenhuma dependência com y.

Passo 5

Campo devido à placa infinita em z=\tfrac{5}{2} (aula rápida): Para uma placa infinita com densidade superficial \sigma o campo em cada lado tem módulo \dfrac{\sigma}{2\epsilon_{0}} e aponta perpendicularmente para fora da placa se \sigma>0. Aqui \sigma=\rho_{0} (o enunciado usa o mesmo símbolo; atenção às unidades). Assim o campo da placa é
\mathbf{E}_{\text{placa}}(x,y,z)=\frac{\rho_{0}}{2\epsilon_{0}}\,\operatorname{sgn}\!\left(z-\tfrac{5}{2}\right)\,\hat{\mathbf{z}},
onde \operatorname{sgn}(z-\tfrac{5}{2})=+1 para z>\tfrac{5}{2} (acima da placa) e -1 para z<\tfrac{5}{2} (abaixo da placa). No próprio plano ideal a expressão está conceitualmente ambígua; em problemas de física usa-se normalmente o valor médio, mas aqui avaliamos apenas pontos fora da placa.
Superposição (campo resultante): soma vetorial das contribuições da linha e da placa:
\mathbf{E}_{\text{total}}(x,y,z) = \mathbf{E}_{\text{linha}}(x,y,z)+\mathbf{E}_{\text{placa}}(x,y,z).
Substituindo:
\mathbf{E}_{\text{total}}(x,y,z) = \frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\, \frac{x\,\hat{\mathbf{x}}+z\,\hat{\mathbf{z}}}{x^{2}+z^{2}} + \frac{\rho_{0}}{2\epsilon_{0}}\,\operatorname{sgn}\!\left(z-\tfrac{5}{2}\right)\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Cálculo explícito para P_{1}(2,-1,3) e P_{2}(3,-1,2).
Primeiro, note que para ambas x^{2}+z^{2}=13 (pois 2^{2}+3^{2}=13 e 3^{2}+2^{2}=13). Defina a constante conveniente
A=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}},\qquad B=\frac{\rho_{0}}{2\epsilon_{0}}.
Para P_{1}(2,-1,3):
  • Distância radial s=\sqrt{13}.
  • Campo da linha:
\mathbf{E}_{\text{linha}}(P_{1})=A\frac{2\,\hat{\mathbf{x}}+3\,\hat{\mathbf{z}}}{13}.
  • Como z_{1}=3>\tfrac{5}{2}, a placa gera \mathbf{E}_{\text{placa}}(P_{1})=+B\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Somando:
\mathbf{E}_{\text{total}}(P_{1}) = A\frac{2}{13}\,\hat{\mathbf{x}}+\left(A\frac{3}{13}+B\right)\hat{\mathbf{z}}.
Voltando a \rho_{0},\epsilon_{0}:
\mathbf{E}_{\text{total}}(P_{1}) = \frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{2}{13}\,\hat{\mathbf{x}} + \left(\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{3}{13}+\frac{\rho_{0}}{2\epsilon_{0}}\right)\hat{\mathbf{z}}.
Para P_{2}(3,-1,2):
  • Distância radial s=\sqrt{13}.
  • Campo da linha:
\mathbf{E}_{\text{linha}}(P_{2})=A\frac{3\,\hat{\mathbf{x}}+2\,\hat{\mathbf{z}}}{13}.
  • Como z_{2}=2<\tfrac{5}{2}, a placa gera \mathbf{E}_{\text{placa}}(P_{2})=-B\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Somando:
\mathbf{E}_{\text{total}}(P_{2}) = A\frac{3}{13}\,\hat{\mathbf{x}}+\left(A\frac{2}{13}-B\right)\hat{\mathbf{z}}.
Escrito em \rho_{0},\epsilon_{0}:
\mathbf{E}_{\text{total}}(P_{2}) = \frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{3}{13}\,\hat{\mathbf{x}} + \left(\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{2}{13}-\frac{\rho_{0}}{2\epsilon_{0}}\right)\hat{\mathbf{z}}.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{E}_{\text{linha}}( \mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0},\mathrm{z}_{0} )=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\;\frac{\mathrm{x}_{0}\,\hat{\mathbf{x}}+\mathrm{z}_{0}\,\hat{\mathbf{z}}}{\mathrm{x}_{0}^{2}+\mathrm{z}_{0}^{2}}.
b) Em coordenadas cilíndricas (com eixo axial em y): \displaystyle \mathbf{E}_{\text{linha}}(s)=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}s}\,\hat{\mathbf{s}}. Em função de x,y,z: \displaystyle \mathbf{E}_{\text{linha}}(x,y,z)=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\;\frac{x\,\hat{\mathbf{x}}+z\,\hat{\mathbf{z}}}{x^{2}+z^{2}}.
c) \displaystyle \mathbf{E}_{\text{total}}(P_{1}= (2,-1,3))=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{2}{13}\,\hat{\mathbf{x}}+\left(\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{3}{13}+\frac{\rho_{0}}{2\epsilon_{0}}\right)\hat{\mathbf{z}}.
\displaystyle \mathbf{E}_{\text{total}}(P_{2}= (3,-1,2))=\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{3}{13}\,\hat{\mathbf{x}}+\left(\frac{\rho_{0}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{2}{13}-\frac{\rho_{0}}{2\epsilon_{0}}\right)\hat{\mathbf{z}}.

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