QUEST. 1) Considere um sistema constituído por uma distribuição linear e infinita de cargas com densidade
(Coulombs/m) constante, distribuída ao longo de todo o eixo y, e uma distribuição superficial e infinita de cargas com densidade
(Coulombs
) constante no plano
. Com base nestas informações, faça os itens descritos em seguida.
a) Determine o campo elétrico no ponto
devido à distribuição linear de cargas, em coordenadas cartesianas.
b) Determine o campo elétrico em um ponto
genérico, devido à distribuição linear de cargas, em coordenadas cilíndricas. O resultado deve ser escrito em função das variáveis
e
c) Determine o campo elétrico resultante nos pontos
e
. ( 1,0 )
a) Determine o campo elétrico no ponto
b) Determine o campo elétrico em um ponto
c) Determine o campo elétrico resultante nos pontos
Passo 1
O enunciado dá duas distribuições de carga:
- Uma distribuição linear, infinita, com densidade linear de carga
(C/m) ao longo de todo o eixo . Ou seja, uma linha de carga coincide com o eixo passando pela origem. - Uma distribuição superficial, infinita, com densidade superficial
(C/m ) no plano .
O que se pede:
a) Determinar o campo elétrico no ponto devido somente à distribuição linear de cargas, em coordenadas cartesianas.
b) Determinar o campo elétrico em um ponto genérico devido somente à distribuição linear de cargas, escrevendo o resultado em coordenadas cilíndricas e, em seguida, em função de
.
c) Determinar o campo elétrico resultante nos pontos e
devido à superposição da linha infinita (eixo
) e da placa infinita no plano
.
a) Determinar o campo elétrico no ponto
b) Determinar o campo elétrico em um ponto genérico
c) Determinar o campo elétrico resultante nos pontos
Passo 2
Conceito e método para o campo da linha infinita (aula rápida): usar a Lei de Gauss.
- Lei de Gauss (forma integral):
. Aqui é a carga total dentro da superfície fechada, a permissividade do vácuo. - Para uma linha de carga infinita e uniforme é conveniente escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha. Por simetria o campo tem módulo que depende só da distância radial
até o eixo (ou seja só de ), é radial no plano e não tem componente ao longo de .
Detalhes do cálculo (passo a passo):
- Tome uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento , coaxial com a linha de carga. A carga interna é . - O fluxo só passa pela superfície lateral (tampas não contribuem porque
é paralelo às tampas). Sobre a lateral, é constante e total da lateral é . Então
- Cancelando
obtém-se o módulo
Direção: radial no plano
saindo da linha (para
). Em notação vetorial com versores cartesianos a unidade radial
(no plano
) é
Passo 3
Aplicando o resultado ao item (a): campo num ponto
em coordenadas cartesianas.
- A distância radial até o eixo
é . - O módulo do campo é
. - A direção radial (no plano
) tem componentes proporcionais a e .
Portanto, o campo devido apenas à linha em
é
Observações: não há componente em
; se
o campo aponta para a linha (sinal trocado).
Passo 4
Item (b): escrever o campo em coordenadas cilíndricas e expressá-lo em função de
.
- Em coordenadas cilíndricas (escolhendo o eixo axial coincidente com o eixo
) usa-se e o versor radial . Em função de :
- Reescrevendo em termos de
(para uso em coordenadas cartesianas), substitui :
Esse é o resultado pedido em (b): expressão em coordenadas cilíndricas (forma com
) e em seguida escrita em função de
. Observação: nenhuma dependência com
.
Passo 5
Campo devido à placa infinita em
(aula rápida): Para uma placa infinita com densidade superficial
o campo em cada lado tem módulo
e aponta perpendicularmente para fora da placa se
. Aqui
(o enunciado usa o mesmo símbolo; atenção às unidades). Assim o campo da placa é
onde
para
(acima da placa) e
para
(abaixo da placa). No próprio plano ideal a expressão está conceitualmente ambígua; em problemas de física usa-se normalmente o valor médio, mas aqui avaliamos apenas pontos fora da placa.
Superposição (campo resultante): soma vetorial das contribuições da linha e da placa:
Substituindo:
Passo 6
Cálculo explícito para
e
.
Primeiro, note que para ambas
(pois
e
). Defina a constante conveniente
Para
:
- Distância radial
. - Campo da linha:
- Como
, a placa gera . - Somando:
Voltando a
:
Para
:
- Distância radial
. - Campo da linha:
- Como
, a placa gera . - Somando:
Escrito em
:
Resposta
a)
b) Em coordenadas cilíndricas (com eixo axial em
):
Em função de
:
c)