No sistema de coordenadas esféricas, um campo elétrico \mathbf{E} é descrito pela equação (1). (2,5)
\mathbf{E}=\left\{\begin{array}{l}\frac{\rho_{0}}{4 \varepsilon_{0}} r^{2} \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}} \quad \text { para } 0 \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{R}_{0} \\\ \frac{\rho_{0}\left(\mathrm{R}_{0}\right)^{4}}{4 \varepsilon_{0}} \frac{1}{\mathrm{r}^{2}} \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}} \text { para } \mathrm{r}>\mathrm{R}_{0}\end{array}\right.
Sabendo que este campo elétrico é devido a uma distribuição volumétrica de cargas, determine a carga elétrica nas seguintes regiões do espaço:
Região definida por \mathrm{r}>\mathrm{R}_{0} ;(1,25)

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico em coordenadas esféricas, dado em forma peça‑por‑peça:
\mathbf{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}\, r^{2}\,\hat{\mathbf{a}}_{r}, & 0\le r\le R_{0},\\[6pt] \displaystyle \frac{\rho_{0}R_{0}^{4}}{4\varepsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{a}}_{r}, & r>R_{0}. \end{cases}
Você pede: determinar a carga elétrica na região definida por r>R_{0}.
Informações relevantes que temos: \rho_{0} (constante, unidade de densidade de carga presumida), \varepsilon_{0} (constante), R_{0} (constante positiva), o campo é puramente radial ( \hat{\mathbf{a}}_{r}) e as expressões de \mathbf{E} em cada faixa de r. A partir daqui vamos calcular a densidade volumétrica de carga nessa região e, se for o caso, integrar para obter a carga total em r>R_{0}.]

Passo 2

Ferramenta principal e fórmula útil (explicada de modo simples): a lei de Gauss local (uma forma de Maxwell) relaciona a densidade volumétrica de carga \rho_v com o divergente do campo elétrico:
\rho_v(\mathbf{r})=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}).
Para um campo radial que depende só de r (simetria esférica) a fórmula do divergente simplifica muito. A expressão do divergente em coordenadas esféricas, para \mathbf{E}=E_{r}(r)\,\hat{\mathbf{a}}_{r}, é
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}E_{r}(r)\big).
Vou usar essa expressão porque nosso campo é exatamente radial e apenas função de r.

Passo 3

Aplique a fórmula da etapa anterior para a região r>R_{0}. Aqui
E_{r}(r)=\frac{\rho_{0}R_{0}^{4}}{4\varepsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}.
Calcule r^{2}E_{r}(r):
r^{2}E_{r}(r)=r^{2}\cdot\frac{\rho_{0}R_{0}^{4}}{4\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r^{2}}=\frac{\rho_{0}R_{0}^{4}}{4\varepsilon_{0}},
que é uma constante (independente de r). Agora o divergente:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Big(\frac{\rho_{0}R_{0}^{4}}{4\varepsilon_{0}}\Big)=\frac{1}{r^{2}}\cdot 0 = 0.
Portanto, pela lei local,
\rho_v(r)=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}=0\quad\text{para }r>R_{0}.
Interpretação: não há densidade volumétrica de carga (nenhuma carga distribuída pelo volume) na região externa r>R_{0}.

Passo 4

Calcule a carga total contida na região r>R_{0} integrando a densidade volumétrica sobre esse volume. O elemento volumétrico em coordenadas esféricas é dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Então:
Q_{r>R_{0}}=\int_{r=R_{0}}^{\infty}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\rho_v(r)\,r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Como acabamos de achar \rho_v(r)=0 para r>R_{0}, o integrando é zero e a integral vale
Q_{r>R_{0}}=0.

Passo 5

Verificação adicional (importante para ter certeza de que não existe carga localizada exatamente na superfície r=R_{0}, que poderia não aparecer na densidade volumétrica): uma carga de superfície \sigma em r=R_{0} aparece quando há descontinuidade na componente normal de \mathbf{E}. A relação é
\sigma=\varepsilon_{0}\big(E_{r}(R_{0}^{+})-E_{r}(R_{0}^{-})\big).
Calcule os limites laterais:
E_{r}(R_{0}^{+})=\frac{\rho_{0}R_{0}^{4}}{4\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{R_{0}^{2}}=\frac{\rho_{0}R_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}},
E_{r}(R_{0}^{-})=\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}\,R_{0}^{2}=\frac{\rho_{0}R_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
Eles são iguais, logo
\sigma=0.
Conclusão: não há carga de superfície em r=R_{0}. Assim não existe carga nem no volume de r>R_{0} nem na superfície r=R_{0}; toda a carga do sistema está estritamente em r\le R_{0}.

Passo 6

Resumo lógico e pequeno comentário de consistência (sem mudar a resposta): a ausência de densidade volumétrica em r>R_{0} e a continuidade de E_{r} em r=R_{0} garantem que não há carga alguma localizada em r\ge R_{0}. Se você quiser conferir, pode também calcular a carga total dentro de r\le R_{0} integrando a densidade obtida aí (gera um resultado consistente com o fluxo de Gauss pela esfera externa), mas isso é apenas verificação — para a pergunta pedida a resposta já está pronta.

Resposta

Q_{r>R_{0}}=0

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