No sistema de coordenadas esféricas, um campo elétrico \mathbf{E} é descrito pela equação (1). (2,5) \mathbf{E}=\left\{\begin{array}{l}\frac{\rho_{0}}{4 \varepsilon_{0}} r^{2} \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}} \quad \text { para } 0 \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{R}_{0} \\\ \frac{\rho_{0}\left(\mathrm{R}_{0}\right)^{4}}{4 \varepsilon_{0}} \frac{1}{\mathrm{r}^{2}} \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}} \text { para } \mathrm{r}>\mathrm{R}_{0}\end{array}\right.
Sabendo que este campo elétrico é devido a uma distribuição volumétrica de cargas, determine a carga elétrica nas seguintes regiões do espaço:
Região definida por 0 \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{R}_{0} ;(1,25)
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico em coordenadas esféricas, radial e em duas regiões:
Também informa que esse campo é devido a uma distribuição volumétrica de cargas. A pergunta que devemos responder é: determinar a carga elétrica contida na região definida por 0 \le r \le R_{0}.]
Passo 2
Vamos escolher o método de resolução. Duas formas simples e equivalentes de obter a carga total dentro de uma esfera são:
Usar a lei de Gauss na forma integral: Q_{\text{enc}}=\varepsilon_{0}\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
Determinar a densidade volumétrica de carga \rho_v(r) pela lei de Gauss diferencial \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_v/\varepsilon_{0} e integrar \rho_v no volume.
Aqui usarei principalmente o método diferencial (porque assim aprendemos explicitamente a densidade \rho_v), e farei um cheque rápido com a forma integral no final.
Passo 3
A fórmula da divergência para um campo radial dependente só de r (ou seja, \mathbf{E}=E_r(r)\,\hat{\mathbf{a}}_r) em coordenadas esféricas é
Aqui E_{r}(r) é a componente radial do campo elétrico (a função que multiplica \hat{\mathbf{a}}_r). A lei de Gauss diferencial relaciona essa divergência à densidade volumétrica de carga:
Portanto, a densidade volumétrica de carga dentro da esfera cresce linearmente com r: \rho_v(r)=\rho_{0}r para 0\le r\le R_{0}.
Passo 5
Vamos calcular a carga total Q dentro da região 0\le r\le R_{0} integrando a densidade volumétrica no volume esférico. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr. Integrando sobre ângulos obtemos o fator 4\pi, logo