No sistema de coordenadas esféricas, um campo elétrico \mathbf{E} é descrito pela equação (1). (2,5)
\mathbf{E}=\left\{\begin{array}{l}\frac{\rho_{0}}{4 \varepsilon_{0}} r^{2} \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}} \quad \text { para } 0 \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{R}_{0} \\\ \frac{\rho_{0}\left(\mathrm{R}_{0}\right)^{4}}{4 \varepsilon_{0}} \frac{1}{\mathrm{r}^{2}} \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}} \text { para } \mathrm{r}>\mathrm{R}_{0}\end{array}\right.
Sabendo que este campo elétrico é devido a uma distribuição volumétrica de cargas, determine a carga elétrica nas seguintes regiões do espaço:
Região definida por 0 \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{R}_{0} ;(1,25)

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico em coordenadas esféricas, radial e em duas regiões:
\mathbf{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho_{0}}{4 \varepsilon_{0}}\, r^{2}\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}, & 0 \le r \le R_{0},\\[8pt] \displaystyle \frac{\rho_{0} R_{0}^{4}}{4 \varepsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}, & r>R_{0}. \end{cases}
Também informa que esse campo é devido a uma distribuição volumétrica de cargas. A pergunta que devemos responder é: determinar a carga elétrica contida na região definida por 0 \le r \le R_{0}.]

Passo 2

Vamos escolher o método de resolução. Duas formas simples e equivalentes de obter a carga total dentro de uma esfera são:
  1. Usar a lei de Gauss na forma integral: Q_{\text{enc}}=\varepsilon_{0}\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
  2. Determinar a densidade volumétrica de carga \rho_v(r) pela lei de Gauss diferencial \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_v/\varepsilon_{0} e integrar \rho_v no volume.
    Aqui usarei principalmente o método diferencial (porque assim aprendemos explicitamente a densidade \rho_v), e farei um cheque rápido com a forma integral no final.

Passo 3

A fórmula da divergência para um campo radial dependente só de r (ou seja, \mathbf{E}=E_r(r)\,\hat{\mathbf{a}}_r) em coordenadas esféricas é
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r}(r)\bigr).
Aqui E_{r}(r) é a componente radial do campo elétrico (a função que multiplica \hat{\mathbf{a}}_r). A lei de Gauss diferencial relaciona essa divergência à densidade volumétrica de carga:
\rho_v(r)=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}.
Vou aplicar essas fórmulas para 0\le r\le R_{0}.

Passo 4

Para 0\le r\le R_{0} temos
E_{r}(r)=\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}\,r^{2}.
Calculemos r^{2}E_{r}(r):
r^{2}E_{r}(r)=r^{2}\cdot\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}\,r^{2}=\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}\,r^{4}.
Derivando em relação a r:
\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r}(r)\bigr)=\frac{d}{dr}\left(\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}\,r^{4}\right)=\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}\cdot 4r^{3}=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\,r^{3}.
Agora a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\,r^{3}=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\,r.
Finalmente, pela lei de Gauss diferencial,
\rho_v(r)=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}=\varepsilon_{0}\cdot\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\,r=\rho_{0}\,r.
Portanto, a densidade volumétrica de carga dentro da esfera cresce linearmente com r: \rho_v(r)=\rho_{0}r para 0\le r\le R_{0}.

Passo 5

Vamos calcular a carga total Q dentro da região 0\le r\le R_{0} integrando a densidade volumétrica no volume esférico. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr. Integrando sobre ângulos obtemos o fator 4\pi, logo
Q=\int_{V}\rho_v\,dV=\int_{0}^{R_{0}}\rho_v(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Substituindo \rho_v(r)=\rho_{0}r:
Q=4\pi\rho_{0}\int_{0}^{R_{0}} r^{3}\,dr.

Passo 6

Calcule a integral:
\int_{0}^{R_{0}} r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R_{0}}=\frac{R_{0}^{4}}{4}.
Substituindo no resultado para Q:
Q=4\pi\rho_{0}\cdot\frac{R_{0}^{4}}{4}=\pi\rho_{0}R_{0}^{4}.
Portanto a carga total na região 0\le r\le R_{0} é \pi\rho_{0}R_{0}^{4}.

Passo 7

Cheque rápido usando a lei de Gauss na forma integral: para uma superfície esférica de raio R_{0},
Q=\varepsilon_{0}\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\varepsilon_{0}\cdot 4\pi R_{0}^{2}\cdot E_{r}(R_{0}),
com E_{r}(R_{0})=\dfrac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}R_{0}^{2}. Substituindo:
Q=\varepsilon_{0}\cdot 4\pi R_{0}^{2}\cdot\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}}R_{0}^{2}=\pi\rho_{0}R_{0}^{4},
o mesmo resultado — bom sinal!

Resposta

\pi \rho_{0} R_{0}^{4}

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