3^ a QUESTA A O - Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
s2=sumk=1^+infty k!k^k

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente descobrir se a série s2 = sumk=1^+infty k!k^k converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica da matemática para verificar a convergência de séries infinitas. Basicamente, vamos comparar os termos consecutivos da série para ver como eles se comportam conforme k cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série:
ak = k!k^k
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que analisa o limite de ak+1ak quando k tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando k tende ao infinito:
limk to infty ( kk+1 )^k = limk to infty ( 1 - 1k+1 )^k = 1e
Aqui, usamos o fato de que (1 - 1n)^n tende a 1e quando n cresce.

Passo 6

Como o limite 1e é aproximadamente 0,3679, que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série s2 converge absolutamente.

Resposta

A série s2 = sumk=1^+infty k!k^k converge.

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