1. Admita que o sistema lvert, & u^3-2 u-v-3=0 & x^2+y^2-u-4=0 define u e v como funções de x e y e calcule as derivadas partial vpartial x e partial vpartial y, no ponto em que x=1 e y=2.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
u^3-2u-v-3=0, x^2+y^2-u-4=0,
que define implicitamente (u,v) como funções de (x,y). Pede-se usar o Teorema da Função Implícita e diferenciação implícita para encontrar partial v/partial x e partial v/partial y no ponto (x,y)=(1,2).

Passo 2

Primeiro, determinamos o valor de (u,v) em (x,y)=(1,2). Da segunda equação
x^2+y^2-u-4=0
segue
u = x^2+y^2-4,
logo em (1,2)
u = 1^2+2^2-4 = 1+4-4 = 1
Substituindo na primeira equação
u^3-2u-v-3=0
temos
1^3-2cdot1 - v -3 = 0 Longrightarrow -4 - v = 0 Longrightarrow v = -4

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente ambas as equações.
Para a primeira equação aplicamos d(,cdot,)=0:
d(u^3-2u-v-3)=0
que leva a
3u^2,du -2,du - dv = 0 Longrightarrow (3u^2-2),du - dv = 0
Para a segunda equação:
d(x^2+y^2-u-4)=0
2x,dx + 2y,dy - du = 0 Longrightarrow du = 2x,dx + 2y,dy

Passo 4

Da primeira equação isolamos dv:
dv = (3u^2-2),du
Substituindo du da segunda equação resulta
dv = (3u^2-2),(2x,dx + 2y,dy) = 2(3u^2-2),(x,dx + y,dy)
Como dv = (partial v/partial x),dx + (partial v/partial y),dy, obtemos
partial vpartial x = 2(3u^2-2),x, partial vpartial y = 2(3u^2-2),y

Passo 5

Finalmente, avaliamos em (x,y,u)=(1,2,1):
3u^2-2 = 3cdot1^2-2 = 1,
partial vpartial x|(1,2) = 2cdot1cdot1 = 2, partial vpartial y|(1,2) = 2cdot1cdot2 = 4

Resposta

partial vpartial x(1,2) = 2, partial vpartial y(1,2) = 4

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