Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
(a) Determine a soluçio geral da equaçio diferencial.
(b) Determine a soluçio estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da soluçio estacionairia como funçīo de un
Exercicio 16
(b) Determine a soluçio estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da soluçio estacionairia como funçīo de un
Exercicio 16
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Há uma ambiguidade no termo do lado direito: o enunciado escreveu
. Em problemas de massa-mola é muito mais comum que a força externa seja
(força harmônica), e a parte (c) pede a "amplitude da solução estacionária como função de
", o que faz sentido para força
. Vou, portanto, interpretar o lado direito como
. Se você realmente tinha
, avise — nesse caso o problema muda muito porque
é singular em pontos e não resulta em uma solução periódica limitada.
Dados relevantes que usaremos:
Dados relevantes que usaremos:
- Equação diferencial (interpretada):
- Condições iniciais:
Perguntas:
(a) determinar a solução geral da equação diferencial (vou dar a solução completa do problema de valor inicial);
(b) determinar a solução estacionária (solução de regime permanente, a parte que permanece quando os transientes decaem);
(c) encontrar a amplitude da solução estacionária como função de .
(a) determinar a solução geral da equação diferencial (vou dar a solução completa do problema de valor inicial);
(b) determinar a solução estacionária (solução de regime permanente, a parte que permanece quando os transientes decaem);
(c) encontrar a amplitude da solução estacionária como função de
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada (transiente). A homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo a quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma geral da solução homogênea é (usar a fórmula padrão para raízes complexas):
onde
são constantes arbitrárias. Explicação rápida: a parte
vem do termo real
das raízes (decaimento exponencial) e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária
(oscilação).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
com
constantes a determinar. Observação: este palpite é adequado porque a homogênea não contém um termo puro
sem o fator exponencial
; portanto não há necessidade de multiplicar por
(não há ressonância de multiplicidade inteira com a solução homogênea pura).
Calculamos derivadas:
Calculamos derivadas:
Substituindo em
e agrupando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
:
Escrevendo a matriz deste sistema é fácil ver que o determinante é
Resolvendo (regra de Cramer) obtemos
Assim a solução particular é
com (\displaystyle D=(2-\omega{2}){2}+\omega^{2}].]
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é soma do transiente com a particular:
Agora impomos as condições iniciais para determinar
. Primeiro em
:
Em seguida calculamos
. É mais prático avaliar
. Derivando o termo homogêneo e avaliando em
(note
):
Derivada da particular em
é
. A condição
dá:
Substituindo
e isolando
:
Como
, obtemos
Resumo: constantes determinadas
com
. Portanto a solução do problema de valor inicial é
Passo 5
A solução estacionária (ou de regime permanente) é a parte que permanece quando
, isto é, o termo particular
pois o termo homogêneo decai como
. Logo
com
. É comum escrever essa solução como um único cosseno deslocado:
onde a amplitude
e a fase
satisfazem
com
e
. Calculando
:
E a fase é
Passo 6
Finalmente, escrevemos explicitamente a amplitude como função de
:
Breve comentário intuitivo:
mede a resposta em regime permanente. O denominador
fica pequeno perto de um valor de
que maximiza a resposta (pico de frequência), mas por causa do termo de amortecimento (coeficiente
de
) a amplitude permanece finita (não há divergência infinita).
Resposta
(a)
onde
\n
(b) com
\n
(c)
(b)
(c)