Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
\vec{u}^{\prime \prime}+u^{\prime}+2 u=\operatorname{cosec} \omega t, \omega>0, u(0)=0, u^{\prime}(0)=2 .
(a) Determine a soluçio geral da equaçio diferencial.
(b) Determine a soluçio estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da soluçio estacionairia como funçīo de un
Exercicio 16

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\vec{u}^{\prime\prime}+u^{\prime}+2u=\operatorname{cosec}\omega t,\qquad \omega>0,\qquad u(0)=0,\qquad u'(0)=2.
Há uma ambiguidade no termo do lado direito: o enunciado escreveu \operatorname{cosec}\omega t. Em problemas de massa-mola é muito mais comum que a força externa seja \cos\omega t (força harmônica), e a parte (c) pede a "amplitude da solução estacionária como função de \omega", o que faz sentido para força \cos\omega t. Vou, portanto, interpretar o lado direito como \cos(\omega t). Se você realmente tinha \csc(\omega t)=1/\sin(\omega t), avise — nesse caso o problema muda muito porque \csc é singular em pontos e não resulta em uma solução periódica limitada.
Dados relevantes que usaremos:
  • Equação diferencial (interpretada): u''+u'+2u=\cos(\omega t).
  • Condições iniciais: u(0)=0,\qquad u'(0)=2.
Perguntas:
(a) determinar a solução geral da equação diferencial (vou dar a solução completa do problema de valor inicial);
(b) determinar a solução estacionária (solução de regime permanente, a parte que permanece quando os transientes decaem);
(c) encontrar a amplitude da solução estacionária como função de \omega.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada (transiente). A homogênea é
u''+u'+2u=0.
Procuramos soluções da forma u(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+r+2=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-8}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas r=-\tfrac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{2}, a forma geral da solução homogênea é (usar a fórmula padrão para raízes complexas):
u_{h}(t)=e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)\Big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Explicação rápida: a parte e^{-t/2} vem do termo real -1/2 das raízes (decaimento exponencial) e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária \frac{\sqrt{7}}{2} (oscilação).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular u_{p}(t)\) da equação completa com forçamento \(\cos(\omega t)\). Método: coeficientes indeterminados. Para forçamento harmônico escolhemos a forma \[u_{p}(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
com A,B constantes a determinar. Observação: este palpite é adequado porque a homogênea não contém um termo puro \cos(\omega t) sem o fator exponencial e^{-t/2}; portanto não há necessidade de multiplicar por t (não há ressonância de multiplicidade inteira com a solução homogênea pura).
Calculamos derivadas:
u_{p}'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t),
u_{p}''(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t)-B\omega^{2}\sin(\omega t).
Substituindo em u''+u'+2u=\cos(\omega t) e agrupando coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) obtemos o sistema linear para A,B:
\begin{cases} A(2-\omega^{2})+B\omega=1,\\[6pt] - A\omega + B(2-\omega^{2})=0. \end{cases}
Escrevendo a matriz deste sistema é fácil ver que o determinante é
D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.
Resolvendo (regra de Cramer) obtemos
A=\frac{2-\omega^{2}}{D},\qquad B=\frac{\omega}{D}.
Assim a solução particular é
u_{p}(t)=\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\omega t)+\frac{\omega}{D}\sin(\omega t),
com (\displaystyle D=(2-\omega{2}){2}+\omega^{2}].]

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é soma do transiente com a particular:
u(t)=u_{h}(t)+u_{p}(t)=e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)\Big) +\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\omega t)+\frac{\omega}{D}\sin(\omega t).
Agora impomos as condições iniciais para determinar C_{1},C_{2}. Primeiro em t=0:
u(0)=C_{1}+\frac{2-\omega^{2}}{D}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\frac{2-\omega^{2}}{D}.
Em seguida calculamos u'(t). É mais prático avaliar u'(0). Derivando o termo homogêneo e avaliando em t=0 (note \omega_{0}=\tfrac{\sqrt{7}}{2}):
u_{h}'(0)=-\tfrac{1}{2}C_{1}+\omega_{0}C_{2}.
Derivada da particular em 0 é u_{p}'(0)=B\omega=\dfrac{\omega^{2}}{D}. A condição u'(0)=2 dá:
-\tfrac{1}{2}C_{1}+\omega_{0}C_{2}+\frac{\omega^{2}}{D}=2.
Substituindo C_{1}=-\dfrac{2-\omega^{2}}{D} e isolando C_{2}:
\omega_{0}C_{2}=2-\frac{1}{2}C_{1}-\frac{\omega^{2}}{D} =2-\frac{1}{2}\left(-\frac{2-\omega^{2}}{D}\right)-\frac{\omega^{2}}{D} =2-\frac{2+\omega^{2}}{2D}.
Como \omega_{0}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}, obtemos
C_{2}=\frac{2-\tfrac{2+\omega^{2}}{2D}}{\omega_{0}} =\frac{4D-(2+\omega^{2})}{D\sqrt{7}}.
Resumo: constantes determinadas
C_{1}=-\frac{2-\omega^{2}}{D},\qquad C_{2}=\frac{4D-(2+\omega^{2})}{D\sqrt{7}},
com D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}. Portanto a solução do problema de valor inicial é
u(t)=e^{-t/2}\Big(-\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t)+\frac{4D-(2+\omega^{2})}{D\sqrt{7}}\sin(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t)\Big)+\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\omega t)+\frac{\omega}{D}\sin(\omega t).

Passo 5

A solução estacionária (ou de regime permanente) é a parte que permanece quando t\to\infty, isto é, o termo particular u_{p}(t) pois o termo homogêneo decai como e^{-t/2}. Logo
u_{\text{est}}(t)=u_{p}(t)=\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\omega t)+\frac{\omega}{D}\sin(\omega t),
com \displaystyle D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}. É comum escrever essa solução como um único cosseno deslocado:
u_{\text{est}}(t)=R(\omega)\cos\big(\omega t-\varphi(\omega)\big),
onde a amplitude R(\omega) e a fase \varphi(\omega) satisfazem
R(\omega)=\sqrt{A^{2}+B^{2}},\qquad \tan\varphi(\omega)=\frac{B}{A},
com A=\dfrac{2-\omega^{2}}{D} e B=\dfrac{\omega}{D}. Calculando R:
R(\omega)=\sqrt{\frac{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}{D^{2}}}=\frac{\sqrt{D}}{D}=\frac{1}{\sqrt{D}}.
E a fase é
\varphi(\omega)=\arctan\!\Big(\frac{\omega}{\,2-\omega^{2}\,}\Big).

Passo 6

Finalmente, escrevemos explicitamente a amplitude como função de \omega:
\boxed{\,R(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}}\,.}
Breve comentário intuitivo: R(\omega) mede a resposta em regime permanente. O denominador \sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}} fica pequeno perto de um valor de \omega que maximiza a resposta (pico de frequência), mas por causa do termo de amortecimento (coeficiente 1 de u') a amplitude permanece finita (não há divergência infinita).

Resposta

(a) u(t)=e^{-t/2}\Big(-\dfrac{2-\omega^{2}}{D}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)+\dfrac{4D-(2+\omega^{2})}{D\sqrt{7}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)\Big)+\dfrac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\omega t)+\dfrac{\omega}{D}\sin(\omega t), onde \displaystyle D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.\n
(b) u_{\text{est}}(t)=\dfrac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\omega t)+\dfrac{\omega}{D}\sin(\omega t)=\dfrac{1}{\sqrt{D}}\cos\!\big(\omega t-\varphi(\omega)\big), com \displaystyle \varphi(\omega)=\arctan\!\Big(\frac{\omega}{2-\omega^{2}}\Big).\n
(c) \displaystyle R(\omega)=\frac{1}{\sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}}.

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