Questā 1 (4,0 pontos). Calcule as integrais a seguir, parametrizando explicitamente os caminhos:
\int_{\gamma} \frac{1}{z} d z, onde \gamma é a circunferência |z|=2, orientada no sentido anti-horário. O Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\gamma} \frac{1}{z}\,dz,
onde \gamma é a circunferência |z|=2 orientada no sentido anti-horário. Além disso, pergunta se o Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado e por quê.
Informações dadas:
  • A função integranda é \frac{1}{z}.
  • O caminho \gamma é a circunferência |z|=2, isto é, o círculo de raio 2 centrado em 0.
  • A orientação é anti-horária (sentido positivo).
  • Pergunta extra: aplicabilidade do Teorema Fundamental do Cálculo (ou existência de primitiva) para \frac{1}{z} nesse contexto.

Passo 2

Explicação didática do método por parametrização.
Regra (fórmula) para integrar uma função complexa ao longo de um caminho: se \gamma é dada por uma parametrização contínua e diferenciável \gamma:[a,b]\to\mathbb{C}, então
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt.
O que cada coisa significa:
  • f é a função que estamos integrando ( f(z)=\tfrac{1}{z} aqui).
  • \gamma(t) descreve os pontos do caminho quando t varia de a a b.
  • \gamma'(t) é a derivada complexa de \gamma; o produto f(\gamma(t))\gamma'(t) é uma função complexa de t que se integra como integral de função real (com valores complexos).
Vamos aplicar essa fórmula parametrizando explicitamente a circunferência |z|=2.

Passo 3

Escolha da parametrização da circunferência |z|=2 no sentido anti-horário.
Uma parametrização natural é
\gamma(t)=2e^{it},\qquad t\in[0,2\pi].
Justificativa: para t variando de 0 a 2\pi, e^{it} descreve o círculo unitário no sentido anti-horário; multiplicando por 2 obtemos o círculo de raio 2. A derivada é
\gamma'(t)=2i e^{it}.

Passo 4

Substituição na fórmula da integral e simplificação.
Usando a fórmula do passo 2,
\int_{\gamma} \frac{1}{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\gamma(t)}\,\gamma'(t)\,dt.
Agora substituímos \gamma(t)=2e^{it} e \gamma'(t)=2i e^{it}:
\frac{1}{\gamma(t)}\,\gamma'(t)=\frac{1}{2e^{it}}\cdot 2i e^{it}.
Simplificando: os fatores 2 e e^{it} cancelam, sobrando
\frac{1}{2e^{it}}\cdot 2i e^{it}=i.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{2\pi} i\,dt.

Passo 5

Cálculo final da integral e interpretação.
Integrando i em t de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} i\,dt = i\big|_{0}^{2\pi} = i(2\pi-0)=2\pi i.
Portanto a integral vale 2\pi i.
Comentário didático sobre o Teorema Fundamental do Cálculo (existência de primitiva): o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais complexas diz que, se uma função f é holomorfa (analítica) em um domínio aberto que contém a curva \gamma e se existe uma primitiva F tal que F'=f nesse domínio, então
\int_{\gamma} f(z)\,dz = F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).
No caso de uma curva fechada (início = fim), isso implicaria integral nula.
Por que não podemos aplicar aqui? Porque \tfrac{1}{z} tem uma singularidade em z=0, e o ponto 0 está no interior da circunferência |z|=2. Não existe uma primitiva holomorfa de \tfrac{1}{z} definida em todo um domínio aberto que contenha a circunferência e seu interior (qualquer tentativa de definir a primitiva \log z requer uma “régua” (corte) partindo de 0 até o infinito que sempre corta a circunferência, portanto não se obtém uma primitiva single‑valued contínua ao longo de toda \gamma). Além disso, o valor que calculamos é 2\pi i\neq 0; se existisse primitiva em tal domínio, a integral sobre uma curva fechada teria de ser 0, o que contradiria o cálculo direto. Outra maneira (mais avançada): pelo Teorema dos Resíduos, o resíduo de \tfrac{1}{z} em 0 é 1, logo a integral ao redor de uma curva que envolve 0 é 2\pi i\cdot 1=2\pi i.
Resumindo: não, o Teorema Fundamental do Cálculo não poderia ser aplicado aqui porque \tfrac{1}{z} não possui primitiva holomorfa em um domínio que contenha a circunferência |z|=2 (há singularidade em 0 dentro da curva).

Resposta

\displaystyle \int_{\gamma}\frac{1}{z}\,dz = 2\pi i
Não. Porque \displaystyle \frac{1}{z} tem singularidade em \,0 (no interior da circunferência), logo não existe primitiva holomorfa definida num domínio que contenha toda \gamma.

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