Questaio 4. (2 pontos) (a) Calcule a energia interna e o calor especifico de um cristal bidimensional considsrando o modelo de Debye ^1. (b) Considera que thetaD gg T, qual seria a dependéncia com a temperatura do calor especificu? (c) Demonstre que para T infty obtém-se a relação de Dulong-Petit para a capacidade térmica especifica.

Passo 1

O enunciado pede, no modelo de Debye para um cristal bidimensional, (a) a energia interna U e o calor específico CV, (b) o comportamento de CV quando thetaDgg T (baixas temperaturas) e (c) mostrar que, para Ttoinfty, surge a lei de Dulong–Petit em 2D. Vamos precisar do espectro acústico contínuo e da densidade de modos em 2D, e usar
U=integral0^omegaDg(omega),hbaromegae^hbaromega/(kB T)-1,domega
e CV=partial U/partial T.

Passo 2

Em 2D há duas polarizações acústicas e a densidade de modos normalizada a 2N modos é
g(omega)=2NomegaD^2,omega,, omegaDequivkBthetaDhbar,
Assim
U =integral0^omegaD2NomegaD^2,omega;hbaromegae^hbaromega/(kB T)-1,domega =2NhbaromegaD^2integral0^omegaDomega^2e^hbaromega/(kB T)-1,domega
Fazendo x=hbaromega/(kB T), de modo que omega=(kB T/hbar)x e xD=thetaD/T, obtém-se
U =2NhbaromegaD^2l(kB Thbarr)^3 integral0^xDx^2e^x-1,dx =2N kB Tl(TthetaDr)^2 integral0^thetaD/Tx^2e^x-1,dx

Passo 3

O calor específico é
CV=partial Upartial T =2N kBl(TthetaDr)^2 integral0^thetaD/Tx^2e^x(e^x-1)^2,dx
Este é o resultado exato para CV no modelo de Debye em 2D.

Passo 4

Para thetaDgg T temos xD=thetaD/Ttoinfty. Então
CVapprox 2N kBl(TthetaDr)^2 integral0^inftyx^2 e^x(e^x-1)^2,dx
Usando integral0^inftyx^2 e^x(e^x-1)^2dx=pi^23, vem
CVsim 2N kB,pi^23l(TthetaDr)^2 ;propto;T^2

Passo 5

Para Ttoinfty temos xD=thetaD/Tto0 e, em primeira ordem,
integral0^xDx^2e^x-1,dx approxintegral0^xDx,dx=xD^22,
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Uapprox 2N kB Tl(TthetaDr)^212l(thetaDTr)^2 =N kB T
Diferenciando,
CV=dUdT=N kB,
que é exatamente a lei de Dulong–Petit em 2D (capacidade térmica por átomo igual a kB).

Resposta

(a)
U=2N kB Tl(TthetaDr)^2 integral0^thetaD/Tx^2e^x-1,dx, CV=2N kBl(TthetaDr)^2 integral0^thetaD/Tx^2e^x(e^x-1)^2,dx
(b) Para thetaDgg T,
CVapprox 2N kB,pi^23l(TthetaDr)^2propto T^2
(c) No limite Ttoinfty,
CVto N kB,
que é a relação de Dulong–Petit para um cristal bidimensional.

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