Questaio 4. (2 pontos) (a) Calcule a energia interna e o calor especifico de um cristal bidimensional considsrando o modelo de Debye
. (b) Considera que
, qual seria a dependéncia com a temperatura do calor especificu? (c) Demonstre que para
obtém-se a relação de Dulong-Petit para a capacidade térmica especifica.
Passo 1
O enunciado pede, no modelo de Debye para um cristal bidimensional, (a) a energia interna
e o calor específico
, (b) o comportamento de
quando
(baixas temperaturas) e (c) mostrar que, para
, surge a lei de Dulong–Petit em 2D. Vamos precisar do espectro acústico contínuo e da densidade de modos em 2D, e usar
e
.
Passo 2
Em 2D há duas polarizações acústicas e a densidade de modos normalizada a
modos é
Assim
Fazendo
, de modo que
e
, obtém-se
Passo 3
O calor específico é
Este é o resultado exato para
no modelo de Debye em 2D.
Passo 4
Para
temos
. Então
Usando
, vem
Passo 5
Para
temos
e, em primeira ordem,
logo
Diferenciando,
que é exatamente a lei de Dulong–Petit em 2D (capacidade térmica por átomo igual a
).
Resposta
(a)
(b) Para
,
(c) No limite
,
que é a relação de Dulong–Petit para um cristal bidimensional.