Questảo 3. (2 pontos) Descreva e cite as principais diferenças entre os modelos de Dulong-Petit, Einstein e Debye para a capacidade térmica especifica.
Passo 1
O enunciado pede para a gente descrever os modelos de Dulong–Petit, Einstein e Debye para a capacidade térmica molar de sólidos e citar as principais diferenças entre eles. Vamos precisar usar:
– Teorema da equipartição (modelo clássico).
– Quantização da energia de osciladores harmônicos (modelo de Einstein).
– Distribuição de modos vibracionais (fonons) com densidade de estados (modelo de Debye).
– Teorema da equipartição (modelo clássico).
– Quantização da energia de osciladores harmônicos (modelo de Einstein).
– Distribuição de modos vibracionais (fonons) com densidade de estados
Passo 2
Modelo de Dulong–Petit (1819): parte do teorema da equipartição clássica em que cada grau de liberdade quadrático contribui com
para a energia interna. Cada átomo num sólido tridimensional tem 3 modos vibracionais (cada um com energia cinética e potencial), logo
Para um mol (
). Esse modelo dá
independente de
, funcionando bem em altas temperaturas, mas falhando drasticamente em baixas temperaturas (onde o calor específico tende a zero).
Passo 3
Modelo de Einstein (1907): cada átomo é tratado como um oscilador harmônico quântico de frequência única
. A energia média de um oscilador é
levando ao resultado por mol
Esse modelo prevê que
caia exponencialmente em baixas temperaturas, capturando qualitativamente o decaimento do calor específico, mas não reproduz o comportamento
observado experimentalmente.
Passo 4
Modelo de Debye (1912): resolve a limitação do modelo de Einstein adotando uma distribuição contínua de frequências de vibração (fonons) com densidade de estados
até uma frequência de corte
. Isso leva a
Em baixas temperaturas this integral dá
, em excelente acordo com dados experimentais, e para
retorna
, recuperando Dulong–Petit.
Passo 5
Principais diferenças entre os modelos:
– Natureza clássica vs quântica: Dulong–Petit é puramente clássico; Einstein e Debye usam quantização.
– Tratamento das frequências: Einstein adota uma única frequência ; Debye considera espectro contínuo até
.
– Comportamento em baixas temperaturas: Dulong–Petit dá constante ; Einstein prevê decaimento exponencial
; Debye fornece a lei de potência
.
– Parâmetros de ajuste: Dulong–Petit não tem parâmetro; Einstein usa ; Debye usa
, que estão relacionados às frequências de vibração do sólido.
– Natureza clássica vs quântica: Dulong–Petit é puramente clássico; Einstein e Debye usam quantização.
– Tratamento das frequências: Einstein adota uma única frequência
– Comportamento em baixas temperaturas: Dulong–Petit dá constante
– Parâmetros de ajuste: Dulong–Petit não tem parâmetro; Einstein usa
Resposta
As principais diferenças estão em como cada modelo trata a energia vibracional e sua quantização:
(a) Dulong–Petit usa equipartição clássica e prevê constante, falhando em baixas
.
(b) Einstein introduz quantização com uma única frequência , obtendo uma queda exponencial do calor específico em baixas
, mas sem o comportamento
.
(c) Debye adota um espectro contínuo de frequências até , resultando em
para
e recuperando
para
, em ótimo acordo com experimentos.
(a) Dulong–Petit usa equipartição clássica e prevê
(b) Einstein introduz quantização com uma única frequência
(c) Debye adota um espectro contínuo de frequências até