Questảo 3. (2 pontos) Descreva e cite as principais diferenças entre os modelos de Dulong-Petit, Einstein e Debye para a capacidade térmica especifica.

Passo 1

O enunciado pede para a gente descrever os modelos de Dulong–Petit, Einstein e Debye para a capacidade térmica molar de sólidos e citar as principais diferenças entre eles. Vamos precisar usar:
– Teorema da equipartição (modelo clássico).
– Quantização da energia de osciladores harmônicos (modelo de Einstein).
– Distribuição de modos vibracionais (fonons) com densidade de estados propto omega^2 (modelo de Debye).

Passo 2

Modelo de Dulong–Petit (1819): parte do teorema da equipartição clássica em que cada grau de liberdade quadrático contribui com tfrac12kB T para a energia interna. Cada átomo num sólido tridimensional tem 3 modos vibracionais (cada um com energia cinética e potencial), logo
U = 3NkB T Longrightarrow CV = (partial Upartial T)V = 3NkB = 3R
Para um mol ( N=NA). Esse modelo dá ,CV=3R independente de T, funcionando bem em altas temperaturas, mas falhando drasticamente em baixas temperaturas (onde o calor específico tende a zero).

Passo 3

Modelo de Einstein (1907): cada átomo é tratado como um oscilador harmônico quântico de frequência única omegaE. A energia média de um oscilador é
bar E = hbaromegaEe^hbaromegaE/(kB T)-1,,
levando ao resultado por mol
CV = 3R (thetaET)^2 e^thetaE/Tl(e^thetaE/T-1r)^2,thetaE=hbaromegaEkB
Esse modelo prevê que CV caia exponencialmente em baixas temperaturas, capturando qualitativamente o decaimento do calor específico, mas não reproduz o comportamento T^3 observado experimentalmente.

Passo 4

Modelo de Debye (1912): resolve a limitação do modelo de Einstein adotando uma distribuição contínua de frequências de vibração (fonons) com densidade de estados g(omega)propto omega^2 até uma frequência de corte omegaD. Isso leva a
CV = 9R l(tfracTthetaDr)^3 integral0^thetaD/T x^4 e^x(e^x-1)^2,dx,thetaD=hbaromegaDkB
Em baixas temperaturas this integral dá CVpropto T^3, em excelente acordo com dados experimentais, e para TggthetaD retorna CVto3R, recuperando Dulong–Petit.

Passo 5

Principais diferenças entre os modelos:
– Natureza clássica vs quântica: Dulong–Petit é puramente clássico; Einstein e Debye usam quantização.
– Tratamento das frequências: Einstein adota uma única frequência omegaE; Debye considera espectro contínuo até omegaD.
– Comportamento em baixas temperaturas: Dulong–Petit dá constante 3R; Einstein prevê decaimento exponencial sim e^-thetaE/T; Debye fornece a lei de potência CVpropto T^3.
– Parâmetros de ajuste: Dulong–Petit não tem parâmetro; Einstein usa thetaE; Debye usa thetaD, que estão relacionados às frequências de vibração do sólido.

Resposta

As principais diferenças estão em como cada modelo trata a energia vibracional e sua quantização:
(a) Dulong–Petit usa equipartição clássica e prevê CV=3R constante, falhando em baixas T.
(b) Einstein introduz quantização com uma única frequência omegaE, obtendo uma queda exponencial do calor específico em baixas T, mas sem o comportamento T^3.
(c) Debye adota um espectro contínuo de frequências até omegaD, resultando em CVpropto T^3 para TllthetaD e recuperando 3R para TggthetaD, em ótimo acordo com experimentos.

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