Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidir se a equação
é exata e, se for, resolvê-la. Estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e verificar se ela atende aos critérios de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais exatas, que é
. Vamos rearranjar nossa equação:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Reorganizando para a forma padrão:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se elas são iguais.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.