Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidir se a equação (2 t^2 y +4) dydt = 3 - 2 t y^2 é exata e, se for, resolvê-la. Estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e verificar se ela atende aos critérios de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais exatas, que é M(t, y) dt + N(t, y) dy = 0. Vamos rearranjar nossa equação:
(2 t^2 y +4) dydt = 3 - 2 t y^2
Multiplicando ambos os lados por dt, temos:
(2 t^2 y +4) dy = (3 - 2 t y^2) dt
Reorganizando para a forma padrão:
( -3 + 2 t y^2 ) dt + (2 t^2 y +4) dy = 0
Aqui, identificamos M(t, y) = -3 + 2 t y^2 e N(t, y) = 2 t^2 y +4.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a t, e ver se elas são iguais.
Calculando partial Mpartial y:
partialpartial y (-3 + 2 t y^2) = 4 t y
Calculando partial Npartial t:
partialpartial t (2 t^2 y +4) = 4 t y
Como partial Mpartial y = partial Npartial t = 4 t y, a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial Phi(t, y) tal que:
partial Phipartial t = M(t, y) = -3 + 2 t y^2
Integrando M em relação a t:
Phi(t, y) = integral (-3 + 2 t y^2) dt = -3 t + t^2 y^2 + h(y)
Agora, derivamos Phi em relação a y e igualamos a N(t, y):
partial Phipartial y = 2 t^2 y + h'(y) = N(t, y) = 2 t^2 y +4
Isso implica que:
h'(y) = 4 Rightarrow h(y) = 4 y + C
Portanto, a função potencial é:
Phi(t, y) = -3 t + t^2 y^2 + 4 y + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
-3 t + t^2 y^2 + 4 y = C
onde C é a constante de integração.

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