Questão 2(6,00)

Um aumento para tarifas de estacionamento de uma cidade é proposto com o intuito de reduzir a velocidade unidirecional na horapico de uma rodovia de 30 \mathrm{mi} / \mathrm{h} para 25 \mathrm{mi} / \mathrm{h}. A rodovia possui seis faixas (três faixas por sentido). Dado que a relação entre fluxo ( q, em veic/h/faixa) e a densidade ( k, em veic/mi/faixa) para essa rodovia é dada por:
q=42 k-0,25 k^{2}
e a velocidade u é dada por mi/h, estimar o efeito dessa política tarifária na emissão do monóxido de carbono durante a hora de pico. Admita que o fluxo é distribuído igualmente entre as três faixas de tráfego, que a rodovia opera constantemente no regime congestionado e que a taxa de emissão de monóxido de carbono é de 150 gramas por veículo-milha. Admita, para efeito de cálculo, um trajeto de 1 milha por veículo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o efeito da política (reduzir a velocidade unidirecional de 30\\ \mathrm{mi/h} para 25\\ \mathrm{mi/h}) sobre as emissões de monóxido de carbono ( \mathrm{CO}) durante a hora de pico. Informações e condições dadas:
  • Relação fluxo-densidade por faixa: q = 42\,k - 0,25\,k^{2}, em que q é o fluxo ( \mathrm{veic/h/faixa}) e k é a densidade ( \mathrm{veic/mi/faixa}).
  • A velocidade média por faixa é dada por \;u (em \mathrm{mi/h}). Vamos usar a relação fundamental entre fluxo, densidade e velocidade.
  • A rodovia tem 6 faixas no total, sendo 3 faixas por sentido; o fluxo é igualmente distribuído entre as 3 faixas do sentido considerado.
  • A rodovia opera no regime congestionado (útil para interpretar a relação dada).
  • Taxa de emissão: 150 gramas de \mathrm{CO} por veículo- milha ( 150\\ \mathrm{g/veic\cdot mi}).
  • Para cálculo, cada veículo percorre 1 milha.
    Pergunta que vamos responder: quanto mudam as emissões totais de \mathrm{CO} na hora de pico no sentido considerado quando a velocidade média cai de 30 para 25\\ \mathrm{mi/h}?

Passo 2

Primeiro, a relação fundamental entre as grandezas é
q = k \, u,
onde q é o fluxo ( \mathrm{veic/h/faixa}), k é a densidade ( \mathrm{veic/mi/faixa}) e u é a velocidade média ( \mathrm{mi/h}). Isso significa: fluxo = número de veículos por milha (densidade) vezes quantas milhas cada veículo percorre por hora (velocidade).
Usando a expressão dada para q, obtemos a velocidade em função de k:
u(k) = \frac{q}{k} = \frac{42k - 0,25k^{2}}{k} = 42 - 0,25\,k.
Expliquei: dividimos toda a expressão de q por k; as unidades conferem, pois q/k \mathrm{mi/h}. Agora isolamos a densidade a partir de u:
k = \frac{42 - u}{0,25}.
Podemos simplificar 1/0,25 = 4, então
k = 4(42 - u) = 168 - 4u,
com k em \mathrm{veic/mi/faixa} para uma velocidade u dada.

Passo 3

Calcular a densidade por faixa antes e depois da política usando \;k = 168 - 4u.
Para u_{\text{antes}} = 30\\ \mathrm{mi/h}:
k_{\text{antes}} = 168 - 4\cdot 30 = 168 - 120 = 48\\ \mathrm{veic/mi/faixa}.
Para u_{\text{depois}} = 25\\ \mathrm{mi/h}:
k_{\text{depois}} = 168 - 4\cdot 25 = 168 - 100 = 68\\ \mathrm{veic/mi/faixa}.
Interpretação: com velocidade menor a densidade aumenta (mais carros por milha por faixa), como esperamos no regime congestionado.

Passo 4

Agora encontramos o fluxo por faixa usando q = u\cdot k (ou usando diretamente q(k) para conferir).
Para antes:
q_{\text{antes, por faixa}} = u_{\text{antes}}\cdot k_{\text{antes}} = 30\cdot 48 = 1440\\ \mathrm{veic/h/faixa}.
(checando com q=42k-0,25k^2: 42\cdot48-0,25\cdot48^2=2016-576=1440, ok.)
Para depois:
q_{\text{depois, por faixa}} = 25\cdot 68 = 1700\\ \mathrm{veic/h/faixa}.
(checando: 42\cdot68-0,25\cdot68^2=2856-1156=1700, ok.)
Ou seja, por faixa o fluxo aumenta quando a velocidade reduz de 30 para 25\\ \mathrm{mi/h} nessa curva congestiva — mais carros por hora passam por faixa.

Passo 5

Total de veículos no sentido (3 faixas) durante a hora de pico: multiplicamos por 3.
Antes:
N_{\text{antes}} = 3\cdot 1440 = 4320\\ \mathrm{veic/h}.
Depois:
N_{\text{depois}} = 3\cdot 1700 = 5100\\ \mathrm{veic/h}.
Esses são os números de veículos que percorrem a milha considerada no sentido afetado durante a hora de pico.

Passo 6

Emissão por veículo: a taxa é 150\\ \mathrm{g/veic\cdot mi} e cada veículo roda 1 mi, logo cada veículo emite
E_{\text{por veic}} = 150\\ \mathrm{g}.
Emissões totais (em gramas) na hora:
Antes:
E_{\text{antes}} = N_{\text{antes}}\cdot 150 = 4320\cdot 150 = 648000\\ \mathrm{g}.
Depois:
E_{\text{depois}} = 5100\cdot 150 = 765000\\ \mathrm{g}.
Converter para quilogramas ( 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}):
E_{\text{antes}} = 648000\\ \mathrm{g} = 648\\ \mathrm{kg},
E_{\text{depois}} = 765000\\ \mathrm{g} = 765\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Calcular a variação absoluta e relativa:
Variação absoluta (em kg):
\Delta E = E_{\text{depois}} - E_{\text{antes}} = 765\\ \mathrm{kg} - 648\\ \mathrm{kg} = 117\\ \mathrm{kg}.
Variação percentual:
\%\Delta = \frac{\Delta E}{E_{\text{antes}}}\times 100\% = \frac{117}{648}\times 100\% \approx 18{,}06\%.
Interpretação: com as hipóteses dadas, a redução da velocidade média de 30 para 25\\ \mathrm{mi/h} resulta num aumento das emissões de \mathrm{CO} no sentido considerado de cerca de 117\\ \mathrm{kg} de \mathrm{CO} na hora de pico, o que corresponde a aproximadamente 18{,}06\% a mais.
Observação rápida (útil para a prova): se a política afetasse ambos os sentidos igualmente, dobraria esse efeito total na rodovia; aqui calculamos apenas para o sentido cuja velocidade foi reduzida.

Resposta

Emissão antes: 648\\ \mathrm{kg\\ CO}.
Emissão depois: 765\\ \mathrm{kg\\ CO}.
Aumento absoluto: 117\\ \mathrm{kg\\ CO}.
Aumento percentual: 18{,}06\%.

Exercícios relacionados