(2,0) a) Apresente a aproximação da solução do PVI aplicando o método baseado na Série de Taylor de ordem 2 para o ponto x=2,1 considerando o intervalo da solução [23] com 10 subintervalos.
b) Descreva a comparação desta solução com as soluções que seriam obtidas pelos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 e de ordem 4. Qual a ordem do erro nestes 2 métodos?
\left\{\begin{array}{c} x y^{\prime}=x-y \\\ y(2)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial e pede duas coisas:
  • O problema: \begin{cases} x\,y'(x)=x-y(x),\\[4pt] y(2)=2, \end{cases}
  • Intervalo da solução: [2,3] com 10 subintervalos.
  • Ponto onde queremos a aproximação: x=2{,}1.
    As perguntas são:
    a) Apresentar a aproximação de y(2{,}1) usando o método baseado na Série de Taylor de ordem 2 (usando os subintervalos indicados).
    b) Comparar essa solução com as soluções que seriam obtidas pelos métodos de Runge–Kutta de ordem 2 e de ordem 4 e dizer qual é a ordem do erro nesses dois métodos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Condição inicial: y(2)=2.
  • Intervalo: [2,3] dividido em 10 subintervalos (portanto, passo uniforme).
  • Ponto alvo: x=2{,}1 (que é o primeiro nó depois de x_0=2 quando o passo h é determinado).]

Passo 2

Calcular o passo h. Como o intervalo [2,3] tem comprimento 3-2=1 e foi dividido em 10 subintervalos:
h=\frac{3-2}{10}=\frac{1}{10}=0{,}1.
Então o primeiro passo leva de x_0=2 a x_1=x_0+h=2+0{,}1=2{,}1, que é exatamente o ponto em que queremos a aproximação.

Passo 3

Relembrando o método de Taylor de ordem 2 (didático e passo a passo): se conhecemos y(x_n) e as derivadas necessárias em x_n, uma aproximação de segunda ordem para y(x_{n+1}) é dada por
y(x_{n+1}) \approx y(x_n) + h\,y'(x_n) + \frac{h^2}{2}\,y''(x_n).
Explicação didática:
  • Essa fórmula vem da expansão de Taylor da função y(x) centrada em x_n:
y(x_n+h)=y(x_n)+h y'(x_n)+\frac{h^2}{2}y''(x_n)+\mathcal{O}(h^3).
  • Para aplicar precisamos de y'(x_n) e y''(x_n). O termo de ordem negligenciado é \mathcal{O}(h^3), logo o erro local do passo é da ordem h^3; acumulando em vários passos o erro global costuma ser da ordem h^2 (isso vale para métodos de Taylor de ordem 2).

Passo 4

Encontrar y'(x,y) a partir da equação dada. A equação é
x\,y' = x-y.
Isolando y':
y' = 1 - \frac{y}{x}.
Explicação: dividimos ambos os lados por x (como x\neq0 no intervalo considerado), obtendo a expressão explícita para a derivada primeira em termos de x e y.

Passo 5

Calcular y'' em termos de x e y. Derivamos a expressão y' = 1 - \dfrac{y}{x} em relação a x. Usamos a regra do quociente para \dfrac{y}{x} (considerando y função de x):
y'' = -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{x\,y' - y}{x^2}.
Detalhe do cálculo: \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{x\,y' - y}{x^2}, daí o sinal negativo vem do menos na fórmula de y'.

Passo 6

Avaliar y' e y'' no ponto inicial (x_0,y_0)=(2,2).
Primeiro,
y'(2,2)=1-\frac{2}{2}=1-1=0.
Agora usar a fórmula de y'':
y''(2,2)=-\frac{2\cdot y'(2,2)-y(2)}{2^2}=-\frac{2\cdot 0 - 2}{4}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto em (2,2) temos y'=0 e y''=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Aplicar a fórmula de Taylor de ordem 2 com h=0{,}1:
y(2{,}1)\approx y(2)+h\,y'(2)+\frac{h^2}{2}\,y''(2).
Substituindo os valores:
y(2{,}1)\approx 2 + 0{,}1\cdot 0 + \frac{(0{,}1)^2}{2}\cdot\frac{1}{2} =2 + 0 + \frac{0{,}01}{2}\cdot\frac{1}{2}.
Calcule passo a passo:
\frac{(0{,}1)^2}{2}=\frac{0{,}01}{2}=0{,}005, \qquad 0{,}005\cdot\frac{1}{2}=0{,}0025.
Logo
y(2{,}1)\approx 2{,}0025.
Este é o resultado pedido na letra (a).

Passo 8

Para comparar, é útil conhecer a solução exata (ajuda a ver o erro real). Vamos resolver o PVI exatamente (aqui é uma equação linear de 1ª ordem):
Escrevemos a equação como
y'+\frac{1}{x}y=1.
Fator integrante \mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln x}=x. Multiplicando a equação por x:
(xy)'=x.
Integrando,
xy=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C.
Portanto
y(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}.
Usando y(2)=2:
2=\frac{2}{2}+\frac{C}{2}\;\Rightarrow\;2=1+\frac{C}{2}\;\Rightarrow\;C=2.
Logo a solução exata é
y(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}.
Avaliar em x=2{,}1:
y(2{,}1)=\frac{2{,}1}{2}+\frac{2}{2{,}1}=1{,}05+\frac{2}{2{,}1}=1{,}05+0{,}95238095238\ldots =2{,}00238095238\ldots
Comparando com a aproximação de Taylor ordem 2:
\text{Taylor2: }2{,}0025,\qquad \text{Exata: }2{,}00238095238\ldots
Erro (Taylor2):
\text{erro} \approx 2{,}0025-2{,}00238095238\approx 0{,}00011904762.

Passo 9

Agora descrevo e comparo com os métodos de Runge–Kutta de ordem 2 e 4 (com exemplos numéricos no primeiro passo, para ficar concreto).
Breve explicação dos métodos:
  • Um esquema Runge–Kutta de ordem 2 (um exemplo comum: método do ponto médio) usa duas avaliações da função f(x,y)=y'(x,y) por passo e tem erro global da ordem \mathcal{O}(h^2) (erro local \mathcal{O}(h^3)). Fórmula (método do ponto médio):
k_1=f(x_n,y_n),\quad k_2=f\big(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_1\big), \quad y_{n+1}=y_n+h\,k_2.
  • O método Runge–Kutta de ordem 4 (RK4) usa quatro avaliações por passo e tem erro global da ordem \mathcal{O}(h^4) (erro local \mathcal{O}(h^5)). Fórmula padrão:
\begin{aligned} k_1&=f(x_n,y_n),\\\ k_2&=f(x_n+\tfrac{h}{2},y_n+\tfrac{h}{2}k_1),\\\ k_3&=f(x_n+\tfrac{h}{2},y_n+\tfrac{h}{2}k_2),\\\ k_4&=f(x_n+h,y_n+h k_3),\\\ y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}
Aplicando numericamente, apenas no primeiro passo (de 2 a 2{,}1), usando f(x,y)=1-\dfrac{y}{x}:
  • RK2 (método do ponto médio):
k_1=f(2,2)=0, \quad k_2=f(2{,}05,\,2+0{,}05\cdot 0)=f(2{,}05,2)=1-\frac{2}{2{,}05}=0{,}02439024390\ldots
y(2{,}1)\approx 2+0{,}1\cdot 0{,}02439024390=2{,}00243902439\ldots
Erro em relação à exata:
\text{erro}_{\text{RK2}}\approx 2{,}00243902439-2{,}00238095238\approx 0{,}00005807201.
  • RK4 (um passo):
    Calculemos os coeficientes (mantendo 10 casas para clareza):
\begin{aligned} k_1&=f(2,2)=0,\\\ k_2&=f(2{,}05,2)=0{,}02439024390,\\\ k_3&=f\big(2{,}05,\,2+0{,}05\cdot 0{,}02439024390\big)=f(2{,}05,2{,}00121951220)=0{,}02379829240,\\\ k_4&=f\big(2{,}1,\,2+0{,}1\cdot 0{,}02379829240\big)=f(2{,}1,2{,}00237982924)=0{,}04648531941. \end{aligned}
Então
y(2{,}1)\approx 2 + \frac{0{,}1}{6}\big(0 + 2\cdot0{,}02439024390 + 2\cdot0{,}02379829240 + 0{,}04648531941\big) =2{,}00238103987\ldots
Erro em relação à exata:
\text{erro}_{\text{RK4}}\approx 2{,}00238103987-2{,}00238095238\approx 8{,}76\times 10^{-8}.
Interpretação e comparação:
  • O método de Taylor de ordem 2 deu 2{,}0025 com erro \approx 1{,}19\times 10^{-4}.
  • O RK2 (ponto médio) deu 2{,}00243902439 com erro \approx 5{,}81\times 10^{-5}. Tem a mesma ordem (2) do método de Taylor de ordem 2, mas o coeficiente do erro (constante) pode diferir — aqui, numericamente, o RK2 ficou um pouco melhor neste primeiro passo.
  • O RK4 deu 2{,}00238103987 com erro ≈ 8{,}8\times10^{-8}, muito mais preciso para o mesmo passo h, pois RK4 tem ordem 4 (erro global \mathcal{O}(h^4)).
Conclusão sobre ordens do erro:
  • Runge–Kutta de ordem 2: ordem do erro global \mathcal{O}(h^2).
  • Runge–Kutta de ordem 4: ordem do erro global \mathcal{O}(h^4).
Observação prática (dica para prova): se você tiver pouco custo computacional e precisa de boa precisão com passo relativamente grande, RK4 costuma ser muito eficaz; se precisa apenas de um método rápido com menos avaliações por passo e precisão moderada, RK2 ou Taylor2 podem ser suficientes. Em provas, para Taylor de ordem 2 faça sempre a conta de y' e y'' no ponto inicial (como fizemos) e aplique a fórmula direta.

Resposta

a) y(2{,}1)\approx 2{,}0025.
b) RK2 (ponto médio) dá y(2{,}1)\approx 2{,}00243902439 e tem ordem de erro global \mathcal{O}(h^2); RK4 dá y(2{,}1)\approx 2{,}00238103987 e tem ordem de erro global \mathcal{O}(h^4).

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