a) Apresente a aproximação da solução do PVI aplicando o método baseado na Série de Taylor de ordem 2 para o ponto
considerando o intervalo da solução [23] com 10 subintervalos.
b) Descreva a comparação desta solução com as soluções que seriam obtidas pelos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 e de ordem 4. Qual a ordem do erro nestes 2 métodos?
b) Descreva a comparação desta solução com as soluções que seriam obtidas pelos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 e de ordem 4. Qual a ordem do erro nestes 2 métodos?
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial e pede duas coisas:
- O problema:
- Intervalo da solução:
com subintervalos. - Ponto onde queremos a aproximação:
.
As perguntas são:
a) Apresentar a aproximação deusando o método baseado na Série de Taylor de ordem 2 (usando os subintervalos indicados).
b) Comparar essa solução com as soluções que seriam obtidas pelos métodos de Runge–Kutta de ordem 2 e de ordem 4 e dizer qual é a ordem do erro nesses dois métodos.
Informações relevantes fornecidas:
- Condição inicial:
. - Intervalo:
dividido em subintervalos (portanto, passo uniforme). - Ponto alvo:
(que é o primeiro nó depois de quando o passo é determinado).]
Passo 2
Calcular o passo
. Como o intervalo
tem comprimento
e foi dividido em
subintervalos:
Então o primeiro passo leva de
a
, que é exatamente o ponto em que queremos a aproximação.
Passo 3
Relembrando o método de Taylor de ordem 2 (didático e passo a passo): se conhecemos
e as derivadas necessárias em
, uma aproximação de segunda ordem para
é dada por
Explicação didática:
- Essa fórmula vem da expansão de Taylor da função
centrada em :
- Para aplicar precisamos de
e . O termo de ordem negligenciado é , logo o erro local do passo é da ordem ; acumulando em vários passos o erro global costuma ser da ordem (isso vale para métodos de Taylor de ordem 2).
Passo 4
Encontrar
a partir da equação dada. A equação é
Isolando
:
Explicação: dividimos ambos os lados por
(como
no intervalo considerado), obtendo a expressão explícita para a derivada primeira em termos de
e
.
Passo 5
Calcular
em termos de
e
. Derivamos a expressão
em relação a
. Usamos a regra do quociente para
(considerando
função de
):
Detalhe do cálculo:
, daí o sinal negativo vem do menos na fórmula de
.
Passo 6
Avaliar
e
no ponto inicial
.
Primeiro,
Agora usar a fórmula de
:
Portanto em
temos
e
.
Passo 7
Aplicar a fórmula de Taylor de ordem 2 com
:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Logo
Este é o resultado pedido na letra (a).
Passo 8
Para comparar, é útil conhecer a solução exata (ajuda a ver o erro real). Vamos resolver o PVI exatamente (aqui é uma equação linear de 1ª ordem):
Escrevemos a equação como
Fator integrante
. Multiplicando a equação por
:
Integrando,
Portanto
Usando
:
Logo a solução exata é
Avaliar em
:
Comparando com a aproximação de Taylor ordem 2:
Erro (Taylor2):
Passo 9
Agora descrevo e comparo com os métodos de Runge–Kutta de ordem 2 e 4 (com exemplos numéricos no primeiro passo, para ficar concreto).
Breve explicação dos métodos:
- Um esquema Runge–Kutta de ordem 2 (um exemplo comum: método do ponto médio) usa duas avaliações da função
por passo e tem erro global da ordem (erro local ). Fórmula (método do ponto médio):
- O método Runge–Kutta de ordem 4 (RK4) usa quatro avaliações por passo e tem erro global da ordem
(erro local ). Fórmula padrão:
Aplicando numericamente, apenas no primeiro passo (de
a
), usando
:
- RK2 (método do ponto médio):
Erro em relação à exata:
- RK4 (um passo):
Calculemos os coeficientes (mantendo 10 casas para clareza):
Então
Erro em relação à exata:
Interpretação e comparação:
- O método de Taylor de ordem 2 deu
com erro . - O RK2 (ponto médio) deu
com erro . Tem a mesma ordem (2) do método de Taylor de ordem 2, mas o coeficiente do erro (constante) pode diferir — aqui, numericamente, o RK2 ficou um pouco melhor neste primeiro passo. - O RK4 deu
com erro ≈ , muito mais preciso para o mesmo passo , pois RK4 tem ordem 4 (erro global ).
Conclusão sobre ordens do erro:
- Runge–Kutta de ordem 2: ordem do erro global
. - Runge–Kutta de ordem 4: ordem do erro global
.
Observação prática (dica para prova): se você tiver pouco custo computacional e precisa de boa precisão com passo relativamente grande, RK4 costuma ser muito eficaz; se precisa apenas de um método rápido com menos avaliações por passo e precisão moderada, RK2 ou Taylor2 podem ser suficientes. Em provas, para Taylor de ordem 2 faça sempre a conta de
e
no ponto inicial (como fizemos) e aplique a fórmula direta.
Resposta
a)
b) RK2 (ponto médio) dá e tem ordem de erro global
; RK4 dá
e tem ordem de erro global
.
b) RK2 (ponto médio) dá