Seja E um planeta esférico de raio R cuja a densidade \rho(x, y, z) em qualquer ponto é inversamente proporcional à distância ao centro do planeta. Determine a massa e também o centro de massa desse planeta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece uma informação principal:
  • Perguntas:
    1. Determinar a massa total do planeta.
    2. Determinar o centro de massa do planeta.
  • Informações dadas:
    • O corpo é um planeta esférico de raio \,R.
    • A densidade no ponto (x,y,z) é inversamente proporcional à distância ao centro do planeta. Vou representar essa proporcionalidade por uma constante k>0, ou seja, a densidade é \displaystyle \rho(x,y,z)=\frac{k}{\text{distância ao centro}}â.
    • A esfera tem centro no ponto que chamamos de origem (0,0,0) e o domínio de massa é o interior da esfera de raio \,R.

Passo 2

Vamos escrever a densidade de forma explícita usando a coordenada radial. Se \,r denota a distância do ponto (x,y,z) ao centro, então
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
e a hipótese de proporcionalidade pode ser escrita como
\rho(x,y,z)=\frac{k}{r},
onde k é a constante de proporcionalidade (uma constante positiva). Observação: em r=0 a fórmula tem singularidade, mas isso não impede que a massa total seja finita — vamos verificar isso depois.

Passo 3

Para integrar sobre uma esfera é muito prático usar coordenadas esféricas. Definição das coordenadas esféricas (convencional):
  • r = distância radial ao centro, 0\le r\le R.
  • \theta = ângulo polar (medido a partir do eixo z), 0\le\theta\le\pi.
  • \varphi = ângulo azimutal no plano xy, 0\le\varphi\le 2\pi.
As componentes cartesianas são
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.
Explico por que: a pequena “caixinha” de volume tem espessura dr, e áreas angulares que geram o fator r^{2}\sin\theta\, d\theta\, d\varphi. Esse é o jacobiano da transformação.

Passo 4

Agora montamos a integral para a massa total M:
M=\iiint_{V}\rho\, dV,
onde V é a bola de raio R. Substituindo \rho=\dfrac{k}{r} e dV em coordenadas esféricas:
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\frac{k}{r}\, r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.
Simplificando o integrando \frac{k}{r}\cdot r^{2}=k r, fica
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} k\, r\, \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.

Passo 5

Façamos as integrais por partes separáveis (a integral é produto de uma parte em r e de outra em ângulos):
  • Integral em r: \int_{0}^{R} k\, r\, dr = k\cdot\frac{R^{2}}{2}=\frac{kR^{2}}{2}.Observação didática: perto de r=0 o integrando em r é proporcional a r, que é integrável no intervalo [0,R]. Por isso a singularidade \tfrac{k}{r} na densidade não causa divergência na massa total — o jacobiano r^{2} “compensa” a singularidade e deixa k r.
  • Integral em \theta: \int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta = 2.
  • Integral em \varphi: \int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Multiplicando todas:
M = \left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta\right)\left(\int_{0}^{R} k r\, dr\right) = 2\pi\cdot 2\cdot \frac{kR^{2}}{2}.
Simplificando,
M = 2\pi k R^{2}.

Passo 6

Agora encontramos o centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por, por exemplo,
x_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\iiint_{V} x\,\rho\, dV, \qquad y_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\iiint_{V} y\,\rho\, dV, \qquad z_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\iiint_{V} z\,\rho\, dV.
Usamos a expressão em coordenadas esféricas das componentes:
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta,
e \rho=\dfrac{k}{r}, dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 7

Cálculo de x_{\text{CM}}. O numerador é
\iiint_{V} x\,\rho\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \bigl(r\sin\theta\cos\varphi\bigr)\cdot\frac{k}{r}\cdot r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.
Simplificando \frac{k}{r}\cdot r^{2}=k r, obtemos o integrando em ordem:
k\, r^{2}\sin^{2}\theta\cos\varphi.
Repare que ao integrar em \varphi de 0 a 2\pi aparece o fator
\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\, d\varphi = 0.
Portanto o numerador é zero e
x_{\text{CM}}=0.

Passo 8

Pelo mesmo motivo, para y_{\text{CM}} o numerador envolve \sin\varphi e
\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\, d\varphi = 0,
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y_{\text{CM}}=0.

Passo 9

Para z_{\text{CM}} calculamos o numerador
\iiint_{V} z\,\rho\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \bigl(r\cos\theta\bigr)\cdot\frac{k}{r}\cdot r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} k\, r^{2}\cos\theta\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.
A integral em \varphi 2\pi. A integral em r \int_{0}^{R} k r^{2}\, dr = k\frac{R^{3}}{3}. Resta a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\, d\theta.
Essa integral é zero porque a função \cos\theta\sin\theta é ímpar em torno de \theta=\tfrac{\pi}{2} ou, calculando explicitamente,
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\, d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(2\theta)\, d\theta = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi} =0.
Portanto o numerador é zero e
z_{\text{CM}}=0.

Passo 10

Conclusão: todas as três coordenadas do centro de massa são zero, isto é, o centro de massa coincide com o centro geométrico da esfera (a origem). A simetria esférica do problema já sugeria isso, e as integrais confirmam.

Resposta

M=2\pi k R^{2}
(x_{\text{CM}},y_{\text{CM}},z_{\text{CM}})=(0,0,0)

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