Seja E um planeta esférico de raio
cuja a densidade
em qualquer ponto é inversamente proporcional à distância ao centro do planeta. Determine a massa e também o centro de massa desse planeta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece uma informação principal:
-
Perguntas:
- Determinar a massa total do planeta.
- Determinar o centro de massa do planeta.
-
Informações dadas:
- O corpo é um planeta esférico de raio
. - A densidade no ponto
é inversamente proporcional à distância ao centro do planeta. Vou representar essa proporcionalidade por uma constante , ou seja, a densidade é . - A esfera tem centro no ponto que chamamos de origem
e o domínio de massa é o interior da esfera de raio .
- O corpo é um planeta esférico de raio
Passo 2
Vamos escrever a densidade de forma explícita usando a coordenada radial. Se
denota a distância do ponto
ao centro, então
e a hipótese de proporcionalidade pode ser escrita como
onde
é a constante de proporcionalidade (uma constante positiva). Observação: em
a fórmula tem singularidade, mas isso não impede que a massa total seja finita — vamos verificar isso depois.
Passo 3
Para integrar sobre uma esfera é muito prático usar coordenadas esféricas. Definição das coordenadas esféricas (convencional):
-
= distância radial ao centro, . -
= ângulo polar (medido a partir do eixo ), . -
= ângulo azimutal no plano , .
As componentes cartesianas são
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Explico por que: a pequena “caixinha” de volume tem espessura
, e áreas angulares que geram o fator
. Esse é o jacobiano da transformação.
Passo 4
Agora montamos a integral para a massa total
:
onde
é a bola de raio
. Substituindo
e
em coordenadas esféricas:
Simplificando o integrando
, fica
Passo 5
Façamos as integrais por partes separáveis (a integral é produto de uma parte em
e de outra em ângulos):
- Integral em
: Observação didática: perto de o integrando em é proporcional a , que é integrável no intervalo . Por isso a singularidade na densidade não causa divergência na massa total — o jacobiano “compensa” a singularidade e deixa . - Integral em
: - Integral em
:
Multiplicando todas:
Simplificando,
Passo 6
Agora encontramos o centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por, por exemplo,
Usamos a expressão em coordenadas esféricas das componentes:
e
,
.
Passo 7
Cálculo de
. O numerador é
Simplificando
, obtemos o integrando em ordem:
Repare que ao integrar em
de
a
aparece o fator
Portanto o numerador é zero e
Passo 8
Pelo mesmo motivo, para
o numerador envolve
e
logo
Passo 9
Para
calculamos o numerador
A integral em
dá
. A integral em
dá
. Resta a integral em
:
Essa integral é zero porque a função
é ímpar em torno de
ou, calculando explicitamente,
Portanto o numerador é zero e
Passo 10
Conclusão: todas as três coordenadas do centro de massa são zero, isto é, o centro de massa coincide com o centro geométrico da esfera (a origem). A simetria esférica do problema já sugeria isso, e as integrais confirmam.