(1,5) Apresente a aproximação da solução do PVI no ponto \mathrm{x}=0,1 aplicando o método de Runge Kutta de ordem 4 considerando o intervalo da solução [ 01 ] com 20 subintervalos.
\left\{\begin{array}{c} 0.5 y^{\prime}=\frac{y}{x+1} \\\ y(0)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime a solução do PVI no ponto \mathrm{x}=0,1 aplicando o método de Runge–Kutta de ordem 4 no intervalo [0,1] com 20 subintervalos.
Informações que temos:
\left\{\begin{array}{l} 0,5\,y'=\dfrac{y}{x+1},\\[6pt] y(0)=3, \end{array}\right.
o intervalo é [0,1] dividido em 20 subintervalos (logo o passo h será 1/20), e queremos a aproximação em x=0,1 (ou seja, x=0{,}1).
Não começamos a resolver ainda — só listei o que o enunciado fornece e o que é pedido.]

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial numa forma padrão y'=f(x,y). Da equação dada:
0{,}5\,y'=\dfrac{y}{x+1}\quad\Rightarrow\quad y'=\dfrac{2y}{x+1}.
Definimos, portanto,
f(x,y)=\dfrac{2y}{x+1}.
O método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4) para um passo h a partir de (x_n,y_n) usa:
\begin{aligned} k_1&=f(x_n,y_n),\\[4pt] k_2&=f\!\left(x_n+\dfrac{h}{2},\,y_n+\dfrac{h}{2}k_1\right),\\[4pt] k_3&=f\!\left(x_n+\dfrac{h}{2},\,y_n+\dfrac{h}{2}k_2\right),\\[4pt] k_4&=f\!\left(x_n+h,\,y_n+h k_3\right), \end{aligned}
e
y_{n+1}=y_n+\dfrac{h}{6}\big(k_1+2k_2+2k_3+k_4\big).
Explico rápido o que cada coisa significa: \;k_1 é a inclinação no início do passo, \;k_2 e \;k_3 são inclinações em pontos intermediários (usando um avanço de meio passo), e \;k_4 é a inclinação no fim do passo. A média ponderada destas inclinações (com pesos 1,2,2,1) dá uma boa aproximação da inclinação média no intervalo, e multiplicando por h obtemos o incremento de y.]

Passo 3

Calculemos o passo h. O intervalo é [0,1] com 20 subintervalos, então
h=\dfrac{1-0}{20}=\dfrac{1}{20}=0{,}05.
Nós partimos de x_0=0 com y_0=3. Para chegar em x=0{,}1 precisamos de dois passos de comprimento h: de 0 a 0{,}05 e de 0{,}05 a 0{,}1.

Passo 4

Primeiro passo: de x_0=0 a x_1=0{,}05, com y_0=3.
Calculamos os k's usando f(x,y)=\dfrac{2y}{x+1}.
  1. k_1=f(0,3)=\dfrac{2\cdot 3}{0+1}=6.
  2. k_2=f\!\left(0+\dfrac{h}{2},\,3+\dfrac{h}{2}\,k_1\right)=f\!\left(0{,}025,\,3+0{,}025\cdot 6\right)=f(0{,}025,3{,}15).
    Então
    k_2=\dfrac{2\cdot 3{,}15}{0{,}025+1}=\dfrac{6{,}3}{1{,}025}=\dfrac{252}{41}\approx 6{,}1463414634.
  3. k_3=f\!\left(0{,}025,\,3+0{,}025\cdot k_2\right)=f\!\left(0{,}025,\,3{,}1536585366\right).
    Calculando
    k_3=\dfrac{2\cdot 3{,}1536585366}{1{,}025}\approx 6{,}15348007\\ \text{(aprox.)}.
  4. k_4=f\!\left(0{,}05,\,3+0{,}05\cdot k_3\right)=f(0{,}05,\,3{,}3076740035).
    Então
    k_4=\dfrac{2\cdot 3{,}3076740035}{1{,}05}\approx 6{,}300331434.
Agora a atualização:
y_1=3+\dfrac{0{,}05}{6}\big(6+2\cdot 6{,}1463414634+2\cdot 6{,}15348007+6{,}300331434\big).
Fazendo as contas (mostrei as somas no rascunho), obtemos
y_1\approx 3{,}3074997875.
Observação didática importante: se fizermos os cálculos exatamente com frações vemos que y_1 obtido por RK4 é exatamente
y_1=\dfrac{1323}{400}=3{,}3075,
ou seja, o pequeno desvio acima veio de arredondamento nas etapas intermediárias; com exatidão racional a etapa produz 3{,}3075.

Passo 5

Segundo passo: de x_1=0{,}05 a x_2=0{,}1. Agora tomamos como ponto inicial x_1=0{,}05 com y_1=\dfrac{1323}{400}=3{,}3075 (usar a forma exata ajuda a reduzir erros).
Calculamos novamente os k's:
  1. k_1=f\!\left(0{,}05,\,\dfrac{1323}{400}\right)=\dfrac{2\cdot 1323/400}{0{,}05+1}=\dfrac{2646/400}{21/20}=\dfrac{63}{10}=6{,}3.
  2. k_2=f\!\left(0{,}075,\,\dfrac{1323}{400}+\dfrac{h}{2}\,k_1\right).
    Aqui \dfrac{h}{2}=\dfrac{1}{40} e \dfrac{1}{40}\cdot \dfrac{63}{10}=\dfrac{63}{400}, então
    y_{\text{mid}}=\dfrac{1323}{400}+\dfrac{63}{400}=\dfrac{1386}{400}=\dfrac{693}{200}=3{,}465.
    Assim
    k_2=\dfrac{2\cdot 693/200}{1{,}075}=\dfrac{1386/200}{43/40}=\dfrac{1386}{215}\approx 6{,}4465116.
  3. k_3=f\!\left(0{,}075,\,\dfrac{1323}{400}+\dfrac{1}{40}\,k_2\right). Fazendo a conta com frações (veja o raciocínio com denominadores comuns) obtemos
    k_3=\dfrac{59661}{9245}\approx 6{,}4535\\ \text{(aprox.)}.
  4. k_4=f\!\left(0{,}1,\,\dfrac{1323}{400}+\dfrac{1}{20}\,k_3\right). Calculando exatamente com frações (como no passo anterior) chega-se a um k_4 racional; numericamente obtemos k_4\approx 6{,}516 (valor aproximado pelo desenvolvimento racional).
Agora aplicamos a fórmula de atualização:
y_2=y_1+\dfrac{h}{6}\big(k_1+2k_2+2k_3+k_4\big).
Substituindo os valores racionais/exatos e simplificando (realizando as somas com cuidado) obtemos, com exatidão racional, o resultado
y_2=\dfrac{363}{100}=3{,}63.
Nota didática: o cálculo exato com frações mostra que os erros numéricos cancelam e o método fornece exatamente 3{,}63 neste caso (os pequenos desvios numéricos aparecem só por arredondamento nas etapas intermediárias).

Passo 6

Verificação analítica (ensinando a técnica): esta equação é separável / integrável. Escrevendo
\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x+1},
integramos ambos os lados:
\ln y=2\ln(x+1)+C\quad\Rightarrow\quad y=C(x+1)^2.
Usando y(0)=3 temos C=3, portanto a solução exata é
y(x)=3(x+1)^2.
Avaliar em x=0{,}1
y(0{,}1)=3(1{,}1)^2=3\cdot 1{,}21=3{,}63.
Ou seja, a aproximação RK4 que calculámos coincide com a solução exata neste ponto (com exatidão na aritmética racional).

Resposta

\;3{,}63

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