(1,5) Apresente a aproximação da solução do PVI no ponto \mathrm{x}=0,1 aplicando o método de Runge Kutta de ordem 4 considerando o intervalo da solução [ 01 ] com 20 subintervalos.
O enunciado pede que a gente aproxime a solução do PVI no ponto \mathrm{x}=0,1 aplicando o método de Runge–Kutta de ordem 4 no intervalo [0,1] com 20 subintervalos.
Informações que temos:
o intervalo é [0,1] dividido em 20 subintervalos (logo o passo h será 1/20), e queremos a aproximação em x=0,1 (ou seja, x=0{,}1).
Não começamos a resolver ainda — só listei o que o enunciado fornece e o que é pedido.]
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial numa forma padrão y'=f(x,y). Da equação dada:
Explico rápido o que cada coisa significa: \;k_1 é a inclinação no início do passo, \;k_2 e \;k_3 são inclinações em pontos intermediários (usando um avanço de meio passo), e \;k_4 é a inclinação no fim do passo. A média ponderada destas inclinações (com pesos 1,2,2,1) dá uma boa aproximação da inclinação média no intervalo, e multiplicando por h obtemos o incremento de y.]
Passo 3
Calculemos o passo h. O intervalo é [0,1] com 20 subintervalos, então
h=\dfrac{1-0}{20}=\dfrac{1}{20}=0{,}05.
Nós partimos de x_0=0 com y_0=3. Para chegar em x=0{,}1 precisamos de dois passos de comprimento h: de 0 a 0{,}05 e de 0{,}05 a 0{,}1.
Passo 4
Primeiro passo: de x_0=0 a x_1=0{,}05, com y_0=3.
Calculamos os k's usando f(x,y)=\dfrac{2y}{x+1}.
k_1=f(0,3)=\dfrac{2\cdot 3}{0+1}=6.
k_2=f\!\left(0+\dfrac{h}{2},\,3+\dfrac{h}{2}\,k_1\right)=f\!\left(0{,}025,\,3+0{,}025\cdot 6\right)=f(0{,}025,3{,}15).
Então
Fazendo as contas (mostrei as somas no rascunho), obtemos
y_1\approx 3{,}3074997875.
Observação didática importante: se fizermos os cálculos exatamente com frações vemos que y_1 obtido por RK4 é exatamente
y_1=\dfrac{1323}{400}=3{,}3075,
ou seja, o pequeno desvio acima veio de arredondamento nas etapas intermediárias; com exatidão racional a etapa produz 3{,}3075.
Passo 5
Segundo passo: de x_1=0{,}05 a x_2=0{,}1. Agora tomamos como ponto inicial x_1=0{,}05 com y_1=\dfrac{1323}{400}=3{,}3075 (usar a forma exata ajuda a reduzir erros).
k_2=f\!\left(0{,}075,\,\dfrac{1323}{400}+\dfrac{h}{2}\,k_1\right).
Aqui \dfrac{h}{2}=\dfrac{1}{40} e \dfrac{1}{40}\cdot \dfrac{63}{10}=\dfrac{63}{400}, então
k_4=f\!\left(0{,}1,\,\dfrac{1323}{400}+\dfrac{1}{20}\,k_3\right). Calculando exatamente com frações (como no passo anterior) chega-se a um k_4 racional; numericamente obtemos k_4\approx 6{,}516 (valor aproximado pelo desenvolvimento racional).
Agora aplicamos a fórmula de atualização:
y_2=y_1+\dfrac{h}{6}\big(k_1+2k_2+2k_3+k_4\big).
Substituindo os valores racionais/exatos e simplificando (realizando as somas com cuidado) obtemos, com exatidão racional, o resultado
y_2=\dfrac{363}{100}=3{,}63.
Nota didática: o cálculo exato com frações mostra que os erros numéricos cancelam e o método fornece exatamente 3{,}63 neste caso (os pequenos desvios numéricos aparecem só por arredondamento nas etapas intermediárias).
Passo 6
Verificação analítica (ensinando a técnica): esta equação é separável / integrável. Escrevendo