QUESTÃO 3
Um investidor pretende compor uma carteira de investimentos á partir da junção de dois ativos, denominados AeB, com as seguintes informações:
tivo A: retorno esperado
a.a. e desvio-padrão
.
Ativo B: retorno esperado
a.a. e desvio-padrão
.
Correlação entre os retomos de A e B: 0,1800.
A partir dos dados apresentados, pede-se determinar:
(a) Quais são os pesos dos ativos
e
que determinam a carteira de menor risco possível?
(b) Quais são as combinações de pesos entre AeB que compõem a fronteira eficiente da carteira formada por estes dois ativos?
Ativo B: retorno esperado
Correlação entre os retomos de A e B: 0,1800.
A partir dos dados apresentados, pede-se determinar:
(a) Quais são os pesos dos ativos
(b) Quais são as combinações de pesos entre AeB que compõem a fronteira eficiente da carteira formada por estes dois ativos?
Passo 1
O enunciado pede para montar uma carteira com dois ativos A e B conhecendo-se médias de retorno, desvios e correlação. O conteúdo é teoria de carteira média–variância: (a) achar pesos da carteira mínima variância; (b) descrever a fronteira eficiente parametrizada pelos pesos.
Passo 2
Em média–variância, o peso do ativo A na carteira de mínima variância (sem restrição de retornos alvo) é dado por
e o peso de B é
. Aqui
.
Calculemos primeiro a covariância:
Calculemos primeiro a covariância:
Agora os quadrados dos desvios:
Passo 3
Substituindo em
:
Então
.
Passo 4
Para a fronteira eficiente, qualquer carteira com pesos
e
gera retorno e risco dados por:
A fronteira eficiente é o conjunto de pares
quando
varia de 0 a 1. A partir de
(mínimo risco) seguimos subindo a curva para maiores retornos.
Em resumo, (a) calculamos os pesos que minimizam ; (b) escrevemos as fórmulas paramétricas de retorno e risco em função de
para 0≤
≤1, o que gera a fronteira eficiente.
Para facilitar, basta variar de 0 a 1, calcular
e
pelas fórmulas acima, e plotar a curva. Essa curva acima do ponto mínimo de risco é a fronteira eficiente.
Em resumo, (a) calculamos os pesos que minimizam
Para facilitar, basta variar
Resposta
(a) Peso mínimo de risco: w_A\u22480.7317 e w_B\u22480.2683
(b) Fronteira eficiente: todas as carteiras com w_A\u22084[0,1], w_B=1−w_A, cujos retornos e riscos são dados por
(b) Fronteira eficiente: todas as carteiras com w_A\u22084[0,1], w_B=1−w_A, cujos retornos e riscos são dados por
e a parte da curva acima de w_A=0.7317 é a fronteira eficiente.