QUESTÃO 3

Um investidor pretende compor uma carteira de investimentos á partir da junção de dois ativos, denominados AeB, com as seguintes informações:
Lambda tivo A: retorno esperado =14,5 % a.a. e desvio-padrão =18,1 %.
Ativo B: retorno esperado =18,3 % a.a. e desvio-padrão =27,2 %.
Correlação entre os retomos de A e B: 0,1800.
A partir dos dados apresentados, pede-se determinar:
(a) Quais são os pesos dos ativos A e B que determinam a carteira de menor risco possível?
(b) Quais são as combinações de pesos entre AeB que compõem a fronteira eficiente da carteira formada por estes dois ativos?

Passo 1

O enunciado pede para montar uma carteira com dois ativos A e B conhecendo-se médias de retorno, desvios e correlação. O conteúdo é teoria de carteira média–variância: (a) achar pesos da carteira mínima variância; (b) descrever a fronteira eficiente parametrizada pelos pesos.

Passo 2

Em média–variância, o peso do ativo A na carteira de mínima variância (sem restrição de retornos alvo) é dado por
wA^* = sigmaB^2 - CovABsigmaA^2 + sigmaB^2 - 2,CovAB,
e o peso de B é wB^*=1 - wA^*. Aqui CovAB=rho,sigmaA,sigmaB.
Calculemos primeiro a covariância:
CovAB = 0.18times0.181times0.272 approx 0.0088618
Agora os quadrados dos desvios:
sigmaA^2 = (0.181)^2 = 0.032761,
sigmaB^2 = (0.272)^2 = 0.073984

Passo 3

Substituindo em wA^*:
wA^* = 0.073984 - 0.00886180.032761 + 0.073984 - 2times0.0088618 approx 0.06512220.0890214 approx 0.7317
Então wB^*=1-0.7317=0.2683.

Passo 4

Para a fronteira eficiente, qualquer carteira com pesos wA e wB=1-wA gera retorno e risco dados por:
mup(wA)=wAmuA+(1-wA)muB,
sigmap^2(wA)=wA^2sigmaA^2+(1-wA)^2sigmaB^2+2wA(1-wA)CovAB
A fronteira eficiente é o conjunto de pares (sigmap(wA),,mup(wA)) quando wA varia de 0 a 1. A partir de wA^*=0.7317 (mínimo risco) seguimos subindo a curva para maiores retornos.
Em resumo, (a) calculamos os pesos que minimizam sigmap^2; (b) escrevemos as fórmulas paramétricas de retorno e risco em função de wA para 0≤ wA≤1, o que gera a fronteira eficiente.
Para facilitar, basta variar wA de 0 a 1, calcular mup(wA) e sigmap(wA) pelas fórmulas acima, e plotar a curva. Essa curva acima do ponto mínimo de risco é a fronteira eficiente.

Resposta

(a) Peso mínimo de risco: w_A\u22480.7317 e w_B\u22480.2683
(b) Fronteira eficiente: todas as carteiras com w_A\u22084[0,1], w_B=1−w_A, cujos retornos e riscos são dados por
mup(wA)=wA,14.5%+(1-wA),18.3%,
sigmap^2(wA)=wA^2(18.1%)^2+(1-wA)^2(27.2%)^2+2wA(1-wA)(0.18)(18.1%)(27.2%),
e a parte da curva acima de w_A=0.7317 é a fronteira eficiente.

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