Questão 4(8,00)

Sobre o contexto ambiental e o uso do solo no contexto dos transportes, iniciativas como a PROPOLIS com o uso de ferramentas como a PD (preferência declarada) demonstraram que um passo rumo à diminuição dos efeitos antropocenos é o incentivo à substituição do uso do automóvel em detrimento do transporte coletivo. Um debate recente é zerar a tarifa de ônibus de forma a aumentar o custo generalizado do automóvel ou mesmo diminuir o número de estacionamentos somando a cobrança de pedágios de forma a aumentar o custo percebido pelo usuário do automóvel (CP). O custo marginal de um trecho de uma rodovia (CM) continuará a aumentar em relação à demanda (q) se nada for feito. Abaixo é descrito as equações de cada componente:
\begin{gathered} C M=200+0,00002 q^{2} \\\ C P=130+0,000006 q^{2} \end{gathered}
Sabendo que a equação da demanda é q=4000-10 C P, pergunta-se:
1- Qual é o fluxo horário na rodovia se nada for feito?
2- Qual o valor deveria ser amortizado pelo motorista, de forma a equalizar o custo da rodovia e desestimular o uso do automóvel?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes equações (vou listar exatamente o que foi dado):
C M=200+0,00002\,q^{2}
C P=130+0,000006\,q^{2}
A equação da demanda é
q=4000-10\,C P.
As perguntas são:
  1. Qual é o fluxo horário na rodovia se nada for feito?
  2. Qual o valor que deveria ser amortizado pelo motorista (uma tarifa/taxa) de forma a equalizar o custo da rodovia e desestimular o uso do automóvel?

Passo 2

Entendendo a relação entre as equações (passo didático): a equação da demanda diz que a quantidade q depende do custo percebido pelo motorista C P. Ao mesmo tempo, C P foi dado como função de q. Portanto, o equilíbrio “se nada for feito” ocorre quando as duas equações são satisfeitas simultaneamente. A estratégia é substituir a expressão de C P em função de q dentro da equação da demanda e resolver para q. Isso reduz o sistema a uma única equação em q.

Passo 3

Substituindo \,C P=130+0,000006\,q^{2}\, em \,q=4000-10\,C P\,:
q = 4000 - 10\bigl(130 + 0,000006\,q^{2}\bigr).
Agora desenvolvo e simplifico passo a passo:
q = 4000 - 1300 - 10\cdot0,000006\,q^{2}
q = 2700 - 0,00006\,q^{2}.

Passo 4

Coloco todos os termos no mesmo lado para obter uma equação quadrática padrão:
0,00006\,q^{2} + q - 2700 = 0.
Aqui a=0,00006, b=1 e c=-2700. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
q=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explico rapidamente: b^{2}-4ac é o discriminante; se for positivo há duas raízes reais; escolhemos a raiz positiva que faz sentido físico (fluxo não pode ser negativo).

Passo 5

Calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 1 - 4\cdot(0,00006)\cdot(-2700).
Observando os sinais: c é negativo, então o produto -4ac vira adição:
0,00006\cdot2700 = 0,162
4\cdot0,162 = 0,648
\Delta = 1 + 0,648 = 1,648.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{1,648}\approx 1,28368.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
q=\frac{-1\pm 1,28368}{2\cdot0,00006}=\frac{-1\pm 1,28368}{0,00012}.
Temos duas soluções:
q_{1}=\frac{-1+1,28368}{0,00012}=\frac{0,28368}{0,00012}\approx 2364,
q_{2}=\frac{-1-1,28368}{0,00012}=\frac{-2,28368}{0,00012}\approx -19\,030{,}67.
Como fluxo negativo não faz sentido, rejeitamos q_{2}. Portanto o fluxo horário de equilíbrio (se nada for feito) é
q\approx 2364\\ \text{veículos por hora}.í

Passo 7

Agora calculo os custos naquele q. Primeiro calculo q^{2} (mostrando o cálculo):
q^{2}=2364^{2}=5\,588\,496.
Calculo o custo marginal da rodovia \,C M=200+0,00002\,q^{2}\,:
0,00002\cdot5\,588\,496=111{,}76992
C M=200+111{,}76992=311{,}76992\approx 311{,}77.
Calculo o custo percebido pelo motorista \,C P=130+0,000006\,q^{2}\,:
0,000006\cdot5\,588\,496=33{,}530976
C P=130+33{,}530976=163{,}530976\approx 163{,}53.

Passo 8

Interpretação econômica e cálculo da tarifa (passo didático): para “equalizar o custo da rodovia” com o custo percebido pelo motorista, ou seja, para que o motorista internalize o custo marginal adicional que sua presença impõe à rodovia (congestionamento), deve-se aplicar uma tarifa (Pigouviana) igual à diferença entre o custo marginal social e o custo privado percebido. Então a tarifa por motorista t deve ser
t = C M - C P.
Substituindo os valores calculados:
t \approx 311{,}76992 - 163{,}530976 = 148{,}238944\approx 148{,}24.
Isso significa que cada motorista deveria pagar aproximadamente 148{,}24 (unidades monetárias por viagem) para que o custo percebido pelo usuário passe a refletir o custo marginal da rodovia, desestimulando o uso do automóvel e internalizando o impacto de congestionamento.

Resposta

1- q\approx 2364 veículos por hora
2- t\approx 148{,}24 unidades monetárias por viagem

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