Questão 01) (10 pontos) Considere os PVI’s associados às respectivas EDO’s que seguem:
a)
b)
e
(I) Resolva cada um deles via séries de potências (justificando as suas contas).
(II) Escolha um dos métodos algébricos estudados (para primeira e segunda ordem) e resolva cada um dos PVI’s, comprovando os resultados obtidos no item (I).
a)
b)
(I) Resolva cada um deles via séries de potências (justificando as suas contas).
(II) Escolha um dos métodos algébricos estudados (para primeira e segunda ordem) e resolva cada um dos PVI’s, comprovando os resultados obtidos no item (I).
Passo 1
O enunciado pede para resolver dois problemas de valor inicial (PVI) por dois métodos: (I) séries de potências e (II) métodos algébricos padrão. O primeiro PVI é de primeira ordem
e o segundo é de segunda ordem com coeficientes constantes
Para (I) vamos assumir soluções em série
e encontrar recorrências. Para (II) usaremos fator integrante no caso (a) e equação característica no caso (b).
Passo 2
Resolvendo (a) por séries. Suponha
Então
O coeficiente de
dá
. Para
obtemos
Com
e
, segue
,
,
, etc. Logo só aparecem potências pares e
Passo 3
Resolvendo (a) por método algébrico. Colocamos em forma linear
O fator integrante é
Multiplicando,
Como
,
e
o que coincide com a soma da série do Passo 2.
Passo 4
Resolvendo (b) por séries. Suponha
Substituindo em
dá para todo
:
Com
e
, calcula-se
e reconhece-se a série de
Passo 5
Resolvendo (b) por método algébrico. A equação característica é
logo a solução geral é
Como
dá
. E
Assim
confirmando o resultado do Passo 4.
Resposta
a)
.
b) .
b)