Questão 01) (10 pontos) Considere os PVI’s associados às respectivas EDO’s que seguem:
a) \left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+2 x y=0, \quad y(0)=3
b) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, \quad y^{\prime}(0)=1 e y(0)=0
(I) Resolva cada um deles via séries de potências (justificando as suas contas).
(II) Escolha um dos métodos algébricos estudados (para primeira e segunda ordem) e resolva cada um dos PVI’s, comprovando os resultados obtidos no item (I).

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois problemas de valor inicial (PVI) por dois métodos: (I) séries de potências e (II) métodos algébricos padrão. O primeiro PVI é de primeira ordem
(1+x^{2})\,y'+2x\,y=0,\quad y(0)=3,
e o segundo é de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=0,\quad y(0)=0,\;y'(0)=1.
Para (I) vamos assumir soluções em série y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} e encontrar recorrências. Para (II) usaremos fator integrante no caso (a) e equação característica no caso (b).

Passo 2

Resolvendo (a) por séries. Suponha
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},\quad y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1}.
Então
(1+x^{2})y'+2x\,y =\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)a_{k+1}x^{k} +\sum_{k=2}^{\infty}(k-1)a_{k-1}x^{k} +2\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}x^{k}=0.
O coeficiente de x^{0} a_{1}=0. Para k\ge1 obtemos
(k+1)a_{k+1}+(k-1)a_{k-1}+2a_{k-1}=0 \;\Longrightarrow\;(k+1)a_{k+1}+(k+1)a_{k-1}=0 \;\Longrightarrow\;a_{k+1}=-a_{k-1}.
Com a_{0}=y(0)=3 e a_{1}=0, segue a_{2}=-a_{0}=-3, a_{3}=0, a_{4}=-a_{2}=3, etc. Logo só aparecem potências pares e
y=3\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}x^{2m}.

Passo 3

Resolvendo (a) por método algébrico. Colocamos em forma linear
y'+\frac{2x}{1+x^{2}}y=0.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{2x}{1+x^{2}}dx\Bigr)=1+x^{2}.
Multiplicando,
\frac{d}{dx}\bigl((1+x^{2})y\bigr)=0 \;\Longrightarrow\;(1+x^{2})y=C.
Como y(0)=3, C=3 e
y=\frac{3}{1+x^{2}},
o que coincide com a soma da série do Passo 2.

Passo 4

Resolvendo (b) por séries. Suponha
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},\; y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n},\; y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Substituindo em y''-2y'+y=0 dá para todo n\ge0:
(n+2)(n+1)a_{n+2}-2(n+1)a_{n+1}+a_{n}=0 \;\Longrightarrow\;a_{n+2} =\frac{2(n+1)a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)(n+1)}.
Com a_{0}=y(0)=0 e a_{1}=y'(0)=1, calcula-se a_{2}=1,\;a_{3}=\tfrac12,\;a_{4}=\tfrac1{6},\;a_{5}=\tfrac1{24},\dots e reconhece-se a série de
y=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{(m-1)!} =x\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} =x\,e^{x}.

Passo 5

Resolvendo (b) por método algébrico. A equação característica é
r^{2}-2r+1=0\;\Longrightarrow\;(r-1)^{2}=0,\;r=1\text{ dupla},
logo a solução geral é
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}.
Como y(0)=0 C_{1}=0. E
y'(x)=C_{2}e^{x}+C_{2}x\,e^{x} \;\Longrightarrow\;y'(0)=C_{2}=1.
Assim
y=x\,e^{x},
confirmando o resultado do Passo 4.

Resposta

a) y=\dfrac{3}{1+x^{2}}.
b) y=x\,e^{x}.

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