Usando a lógica de predicados, prove que cada argumento abaixo é válido. Use os símbolos predicados dados:
Todo mundo que tem cabelo vermelho tem sardas. Alguém tem cabelo vermelho e pés grandes. Todo mundo que não tem olhos verdes não tem pés grandes. Portanto, alguém tem olhos verdes e sardas.
R(x) : x tem cabelo vermelho, F(x) : x tem sardas,
B(x) : x tem pé grande, G(x) : x tem olhos verdes.

Passo 1

O enunciado trabalha com o domínio de pessoas e os predicados \,R(x) : “ x tem cabelo vermelho”, \,F(x) : “ x tem sardas”, \,B(x) : “ x tem pé grande”, \,G(x) : “ x tem olhos verdes”.
As premissas são:
\forall x\,(R(x)\to F(x)),
\exists x\,(R(x)\land B(x)),
\forall x\,(\neg G(x)\to \neg B(x)),
e queremos chegar a
\exists x\,(G(x)\land F(x)).

Passo 2

Da segunda premissa \exists x\,(R(x)\land B(x)), aplicamos eliminação do existencial e introduzimos uma constante nova a tal que
R(a)\land B(a).

Passo 3

Da conjunção R(a)\land B(a) obtida, extraímos por eliminação de conjunção:
R(a) \quad\text{e}\quad B(a).

Passo 4

Da terceira premissa \forall x\,(\neg G(x)\to \neg B(x)), por instância universal com a temos
\neg G(a)\to \neg B(a).

Passo 5

Tendo \neg G(a)\to \neg B(a) e B(a), aplicamos modus tollens (ou contraposição) para concluir
G(a).

Passo 6

Da primeira premissa \forall x\,(R(x)\to F(x)), por instância universal com a vem
R(a)\to F(a).
Com R(a) e modus ponens, obtemos
F(a).

Passo 7

Agora juntamos G(a) e F(a) por introdução de conjunção, chegando a
G(a)\land F(a).

Passo 8

Por fim, aplicamos generalização existencial em a para concluir
\exists x\,(G(x)\land F(x)).

Resposta

\exists x\,(G(x)\land F(x))

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