(Cálculo de derivadas e diferenciação implícita) Calcule d yd x usando as regras de derivação.
e^2 y=cos ^3(x+y)+ln (2 x y)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^2y = cos^3(x+y) + lnl(2xyr)
e pede tfracdydx. Aqui vamos usar diferenciação implícita, a regra da cadeia para e^2y e cos^3(x+y), e a derivada de ln(2xy) usando a cadeia mais a regra do produto dentro do logaritmo.

Passo 2

Diferenciando cada lado em relação a x:
– Lado esquerdo:
ddxl(e^2yr) = e^2y,ddx(2y) = 2,e^2y,y'
– Lado direito: primeiro termo cos^3(x+y). Seja u=x+y, então
ddxl(cos^3ur) =3cos^2u;ddx(cos u) =3cos^2(x+y),l(-sin(x+y)r),ddx(x+y) =-3cos^2(x+y)sin(x+y),(1+y')
O segundo termo ln(2xy):
ddxl[ln(2xy)r] =12xy,ddx(2xy) =12xy(2y+2x,y') =2y2xy+2x,y'2xy =1x+y'y

Passo 3

Reunindo tudo na igualdade das derivadas:
2,e^2y,y' =-3cos^2(x+y)sin(x+y),(1+y')+1x+y'y

Passo 4

Isolando todos os termos com y' do mesmo lado:
2e^2y,y' +3cos^2(x+y)sin(x+y),y' -y'y =-3cos^2(x+y)sin(x+y)+1x
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'l(2e^2y+3cos^2(x+y)sin(x+y)-tfrac1yr) =1x-3cos^2(x+y)sin(x+y)

Passo 5

Finalmente, dividindo ambos os lados pelo coeficiente de y':
dydx =y' = 1x-3cos^2(x+y),sin(x+y) 2e^2y+3cos^2(x+y),sin(x+y)-1y

Resposta

dydx =1x-3cos^2(x+y)sin(x+y)2e^2y+3cos^2(x+y)sin(x+y)-1y

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