(Questão 01)[2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) u perp v Longrightarrow projv u=0;
( ) Se (u, v, w) é LI, então [u, v, w]>0;
( ) (u, v) LD Rightarrow(u, v, w) LD
( ) (u, v, w) LD, então u / / v / / w
( ) Se ( u, v, w ) é LD, então ( u, v ) tanto pode ser LD como LI.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em R^3, envolvendo projeção, dependência e independência linear, produto misto e paralelismo. Vamos, para cada afirmação, verificar seu valor lógico usando definições de projeção, de LI/LD e as propriedades do produto misto.

Passo 2

Afirmação 1: “ uperpvLongrightarrowprojvu=0.”
Como projvu=ucdotvvcdotv;v e ucdotv=0 quando uperpv, o numerador é zero e a projeção é o vetor nulo. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: “Se (u,v,w) é LI, então [u,v,w]>0.”
Sabemos que (u,v,w) ser LI equivale a [u,v,w]neq0, mas o sinal do produto misto pode ser negativo. Não há garantia de ser estritamente positivo. Portanto, é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “ (u,v) é LD Rightarrow(u,v,w) é LD.”
Se u e v são linearmente dependentes, existe relação não trivial au+bv=0, e essa mesma relação, estendendo com coeficiente c=0 em w, mostra que os três vetores também são LD. Logo, é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “ (u,v,w) é LD, então u,//,v,//,w.”
Linearmente dependentes apenas garante que há combinação não trivial entre os três; eles podem ser coplanares sem todos estarem na mesma reta. Nem sempre os três são paralelos. É falsa.

Passo 6

Afirmação 5: “Se (u,v,w) é LD, então (u,v) tanto pode ser LD como LI.”
De fato, se os três são LD, pode acontecer de u,v já serem LD (caso em que o terceiro mantém a dependência) ou de u,v serem LI e w estar no mesmo plano que eles. Logo, é verdadeira.

Resposta

(V)
(F)
(V)
(F)
(V)

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