(Questão 01)[2,0 pontos] Assinale
para as afirmações FALSAS e
para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( )
;
( ) Se
é LI, então
;
( )
( )
LD, então
( ) Se (
) é LD, então (
) tanto pode ser LD como LI.
( )
( ) Se
( )
( )
( ) Se (
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em
, envolvendo projeção, dependência e independência linear, produto misto e paralelismo. Vamos, para cada afirmação, verificar seu valor lógico usando definições de projeção, de LI/LD e as propriedades do produto misto.
Passo 2
Afirmação 1: “
.”
Como e
quando
, o numerador é zero e a projeção é o vetor nulo. Logo, a afirmação é verdadeira.
Como
Passo 3
Afirmação 2: “Se
é LI, então
.”
Sabemos que ser LI equivale a
, mas o sinal do produto misto pode ser negativo. Não há garantia de ser estritamente positivo. Portanto, é falsa.
Sabemos que
Passo 4
Afirmação 3: “
é LD
é LD.”
Se e
são linearmente dependentes, existe relação não trivial
, e essa mesma relação, estendendo com coeficiente
em
, mostra que os três vetores também são LD. Logo, é verdadeira.
Se
Passo 5
Afirmação 4: “
é LD, então
.”
Linearmente dependentes apenas garante que há combinação não trivial entre os três; eles podem ser coplanares sem todos estarem na mesma reta. Nem sempre os três são paralelos. É falsa.
Linearmente dependentes apenas garante que há combinação não trivial entre os três; eles podem ser coplanares sem todos estarem na mesma reta. Nem sempre os três são paralelos. É falsa.
Passo 6
Afirmação 5: “Se
é LD, então
tanto pode ser LD como LI.”
De fato, se os três são LD, pode acontecer de já serem LD (caso em que o terceiro mantém a dependência) ou de
serem LI e
estar no mesmo plano que eles. Logo, é verdadeira.
De fato, se os três são LD, pode acontecer de
Resposta
(V)
(F)
(V)
(F)
(V)
(F)
(V)
(F)
(V)