(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) x^{2}+2 y^{2}=0
b) -3 x^{2}+\frac{4}{3} y^{2}+6 x+8 y+21=0
c) x^{2}-4 x+4=0
d) x^{2}+y^{2}-8 x+2 y-5=0
( )Reta
( )Hipérbole
( )Circunferência
( )Ponto

Passo 1

O enunciado pede para associar cada equação dada ao tipo de cônica: reta, hipérbole, circunferência ou ponto. Vamos usar conceitos de classificação de cônicas (sinais das termos quadráticos, completamento de quadrados e casos degenerados) para identificar cada caso.

Passo 2

Analisando a) x^{2}+2y^{2}=0: ambos os termos quadráticos são não negativos, logo a soma só pode ser zero se x=0 e y=0. Isso não gera uma curva, mas um único ponto (0,0). Portanto a) é o caso degenerado “ponto”.

Passo 3

Analisando b) -3x^{2}+\tfrac{4}{3}y^{2}+6x+8y+21=0: os coeficientes de x^{2} e y^{2} têm sinais opostos -3 e +\tfrac{4}{3}, característica típica de hipérbole (ou hipérbole degenerada, mas aqui há termos lineares e constante que geram uma hipérbole real). Logo b) é “hipérbole”.

Passo 4

Analisando \text{©} x^{2}-4x+4=0): podemos escrever
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}=0
Isso implica x=2, sem restrição em y. É a equação de uma reta vertical. Logo \text{©}) é “reta”.

Passo 5

Analisando d) x^{2}+y^{2}-8x+2y-5=0: completamos quadrados em x e y:
x^{2}-8x+16 + y^{2}+2y+1 -5 -16 -1 = 0
\Longrightarrow (x-4)^{2} + (y+1)^{2} = 22
É a equação de uma circunferência de centro (4,-1) e raio \sqrt{22}. Assim d) é “circunferência”.

Resposta

(c) Reta
(b) Hipérbole
(d) Circunferência
(a) Ponto

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