(Questão 03)[ \mathbf{3 , 0} pontos] Utilizando translações e rotações, reduza a equação abaixo a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente:
4 x^{2}-4 x y+7 y^{2}+12 x+6 y-9=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de segundo grau
4x^{2}-4xy+7y^{2}+12x+6y-9=0
e pede para usar rotação de eixos (para eliminar o termo em xy) e depois translação (para completar quadrados) de modo a reduzir à forma canônica. O conteúdo envolve as fórmulas \tan(2\theta)=\tfrac{B}{A-C} para a rotação e o método de completar quadrado para a translação.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
A=4,\quad B=-4,\quad C=7,\quad D=12,\quad E=6,\quad F=-9.
Para eliminar o termo xy, escolhemos \theta tal que
\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}=\frac{-4}{4-7}=\frac{4}{3}.
Logo, podemos usar
\cos2\theta=\frac{3}{5},\quad \sin2\theta=\frac{4}{5},
e daí
\cos\theta=\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}=\frac{2}{\sqrt5}, \quad \sin\theta=\sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{2}}=\frac{1}{\sqrt5}.

Passo 3

Fazemos a rotação
\begin{cases} x = X\cos\theta - Y\sin\theta = \frac{2}{\sqrt5}\,X - \frac{1}{\sqrt5}\,Y,\\[6pt] y = X\sin\theta + Y\cos\theta = \frac{1}{\sqrt5}\,X + \frac{2}{\sqrt5}\,Y. \end{cases}
Substituindo na equação original e coletando, obtém-se sem termo misto:
3X^2 + 8Y^2 + 6\sqrt5\,X -9 = 0.]

Passo 4

Agora completamos o quadrado em X. Escrevemos
3\bigl(X^2 + 2\sqrt5\,X\bigr) + 8Y^2 -9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3\bigl[(X+\sqrt5)^2 -5\bigr] + 8Y^2 -9 = 0,
isto é
3(X+\sqrt5)^2 + 8Y^2 -15 -9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3(X+\sqrt5)^2 + 8Y^2 = 24.

Passo 5

Dividindo por 24 e identificando a forma padrão, chega-se a
\frac{(X+\sqrt5)^2}{8} + \frac{Y^2}{3} = 1,
que é a equação canônica de uma elipse.

Resposta

\displaystyle \frac{(X+\sqrt5)^2}{8} + \frac{Y^2}{3} = 1,
cônica correspondente: elipse.

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