(Questão 03)[ \mathbf{3 , 0} pontos] Utilizando translações e rotações, reduza a equação abaixo a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente:
4 x^{2}-4 x y+7 y^{2}+12 x+6 y-9=0 .
Passo 1
O enunciado dá a equação geral de segundo grau
4x^{2}-4xy+7y^{2}+12x+6y-9=0
e pede para usar rotação de eixos (para eliminar o termo em xy) e depois translação (para completar quadrados) de modo a reduzir à forma canônica. O conteúdo envolve as fórmulas \tan(2\theta)=\tfrac{B}{A-C} para a rotação e o método de completar quadrado para a translação.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0: