Qual dos conjuntos abaixo é LD?
& A=\left{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & -2 \\ 7 & 5 & 1 \end{array}\right),\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 6 \\ -3 & 9 & -6 \\ 20 & 15 & 3 \end{array}\right)\right} \

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de duas matrizes
M_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 3 & -2\\\\ 7 & 5 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad M_{2} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 6\\\\ -3 & 9 & -6\\\\ 20 & 15 & 3 \end{pmatrix}
e pede para decidir se A=\{M_{1},M_{2}\} é linearmente dependente. Vamos usar a definição de que dois vetores (aqui matrizes) são linearmente dependentes se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Suponha que exista \lambda\in\mathbb{R} tal que
M_{2} = \lambda\,M_{1}.
Comparando a entrada (1,1) das matrizes temos
3 = \lambda\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 3.

Passo 3

Verificamos agora a entrada (3,1):
(M_{2})_{31} = 20, \qquad 3\cdot (M_{1})_{31} = 3\cdot 7 = 21.
Como 20 \neq 21, não existe \lambda que faça M_{2}=\lambda M_{1}.

Passo 4

Em um espaço vetorial, dois vetores são linearmente dependentes se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Como não encontramos \lambda que funcione, concluímos que M_{1} e M_{2} são linearmente independentes, ou seja, A não é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto A não é linearmente dependente.

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