(Questão 01) [3,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para af VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Se r \subset \pi, então d(r, \pi)=0.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v} ) é LI, então ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v} ) é base.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v} \wedge \vec{w}=\vec{u} \wedge \vec{v} \cdot \vec{w}, \quad \forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V^{3}.
( ) Sejam r: X=A+\lambda \vec{r} e s: X=B+\lambda \vec{s}, então r \cap s \neq \emptyset \Leftrightarrow[\overrightarrow{A B}, \vec{r}, \vec{s}]=0.
( ) d(r, s)=d(s, r), para quaisquer retas r e s.
( ) \cos (\operatorname{ang}(r, s))=\frac{|\vec{r} \cdot \vec{s}|}{\|\vec{r}\|\|\vec{s}\|}.

Passo 1

O enunciado pede para marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em seis afirmações sobre geometria no espaço: distância entre linha e plano, linhas e vetores em \mathbb{R}^{3}, produto misto, interseção de retas e ângulo entre retas. Vamos analisar cada caso.

Passo 2

Afirmações sobre distância:
  • Se uma reta r está contida num plano \pi, a distância de r a \pi é zero, pois todo ponto de r já pertence a \pi. Logo a primeira é verdadeira.
  • A distância entre duas retas r e s é simétrica, ou seja d(r,s)=d(s,r). Logo a quinta é verdadeira.

Passo 3

Afirmação sobre base com produto vetorial:
Se (\vec u,\vec v) é LI em \mathbb{R}^3, então \vec u\wedge\vec v\neq\vec0 e é ortogonal a ambos. Assim (\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v) forma um conjunto de três vetores LI, ou seja base. A segunda é verdadeira.

Passo 4

Afirmação sobre produto misto:
O produto misto é cíclico, de modo que
\vec u\cdot(\vec v\wedge\vec w) =\bigl(\vec u\wedge\vec v\bigr)\cdot\vec w.
Portanto a terceira é verdadeira.

Passo 5

Afirmação sobre interseção de retas pelo produto misto:
Duas retas r e s em \mathbb{R}^3 intersectam se são coplanares e não paralelas. A condição
[\overrightarrow{AB},\vec r,\vec s]=0
garante apenas coplanaridade; se \vec r\parallel\vec s pode-se ter [\overrightarrow{AB},\vec r,\vec s]=0 mas sem interseção. Logo a quarta é falsa.

Passo 6

Afirmação sobre cosseno do ângulo entre retas:
O ângulo \theta entre direções \vec r e \vec s satisfaz
\cos\theta =\frac{\bigl|\vec r\cdot\vec s\bigr|}{\|\vec r\|\;\|\vec s\|}.
Portanto a sexta é verdadeira.

Resposta

(V) (V) (V) (F) (V) (V)

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