(a) Mostre que T é uma transformação linear;
(b) Considere as bases C=\left\{1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}\right\} de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) e C^{\prime}=\left\{e_{1}, e_{2}\right\} de \mathbb{R}^{2}. Determine a matriz [T]_{C, C^{\prime}};
(c) T é sobrejetiva? Justifique;
(d) T é injetiva? Justifique.
O objetivo é:
– (a) mostrar que T é linear;
– (b) achar a matriz de T nas bases C=\{1,t,t^2,t^3,t^4\} e C'=\{e_1,e_2\};
– (c) decidir se T é sobrejetiva;
– (d) decidir se T é injetiva.
Passo 2
Para provar a linearidade, tomemos p,q\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) e \alpha\in\mathbb{R}. Então
A transformação é sobrejetiva se sua imagem tiver dimensão 2 (dimensão de \mathbb R^2). Como as duas linhas de [T]_{C,C'} são linearmente independentes (não há escalar \lambda tal que (1,3,9,27,81)=\lambda\,(1,1,1,1,1)), o posto de T é 2. Então