(4,0) Considere a funçāo T: \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(p)=\left[\begin{array}{l} p(1) \\\ p(3) \end{array}\right]
(a) Mostre que T é uma transformação linear;
(b) Considere as bases C=\left\{1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}\right\} de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) e C^{\prime}=\left\{e_{1}, e_{2}\right\} de \mathbb{R}^{2}. Determine a matriz [T]_{C, C^{\prime}};
(c) T é sobrejetiva? Justifique;
(d) T é injetiva? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathcal P_{4}(\mathbb R)\to\mathbb R^2,\qquad T(p)=\begin{pmatrix}p(1)\p(3)\end{pmatrix}.
O objetivo é:
– (a) mostrar que T é linear;
– (b) achar a matriz de T nas bases C=\{1,t,t^2,t^3,t^4\} e C'=\{e_1,e_2\};
– (c) decidir se T é sobrejetiva;
– (d) decidir se T é injetiva.

Passo 2

Para provar a linearidade, tomemos p,q\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) e \alpha\in\mathbb{R}. Então
T(p+q)=\begin{pmatrix}(p+q)(1)\\(p+q)(3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p(1)+q(1)\p(3)+q(3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p(1)\p(3)\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}q(1)\q(3)\end{pmatrix} =T(p)+T(q),
T(\alpha p)=\begin{pmatrix}(\alpha p)(1)\\(\alpha p)(3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha\,p(1)\\alpha\,p(3)\end{pmatrix} =\alpha\begin{pmatrix}p(1)\p(3)\end{pmatrix} =\alpha\,T(p).
Logo, T é linear.)

Passo 3

Para achar [T]_{C,C'}, aplicamos T a cada vetor de C e expressamos no basis C'.
T(1)=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\; T(t)=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},\; T(t^2)=\begin{pmatrix}1\\\ 9\end{pmatrix},\; T(t^3)=\begin{pmatrix}1\\\ 27\end{pmatrix},\; T(t^4)=\begin{pmatrix}1\\\ 81\end{pmatrix}.
Portanto a matriz de T é
[T]_{C,C'}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 3 & 9 & 27 & 81 \end{pmatrix}.

Passo 4

A transformação é sobrejetiva se sua imagem tiver dimensão 2 (dimensão de \mathbb R^2). Como as duas linhas de [T]_{C,C'} são linearmente independentes (não há escalar \lambda tal que (1,3,9,27,81)=\lambda\,(1,1,1,1,1)), o posto de T é 2. Então
\mathrm{Im}(T)\simeq\mathbb R^2
e T é sobrejetiva.

Passo 5

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T=\dim\mathcal P_4(\mathbb R)=5.
Como \dim\mathrm{Im}\,T=2, segue \dim\ker T=3>0. Logo \ker T\neq\{0\} e T não é injetiva.

Resposta

(a) T é linear.
(b)
[T]_{C,C'}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 3 & 9 & 27 & 81 \end{pmatrix}.
(c) T é sobrejetiva.
(d) T não é injetiva.

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