As quádricas a seguir, são quádricas deslocadas da origem. Complete o quadrado e determine qual é a quádrica e o centro.
2 x^{2}-3 y^{2}-4 z^{2}-12 x-6 y-21=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
2x^{2}-3y^{2}-4z^{2}-12x-6y-21=0
e pede para completar o quadrado, encontrar o centro e identificar o tipo de quádricas. Vamos usar a técnica de completar o quadrado nos termos de x e y.

Passo 2

Agrupando termos quadráticos e lineares em x e y, temos
2\bigl(x^{2}-6x\bigr)\;-\;3\bigl(y^{2}+2y\bigr)\;-\;4z^{2}\;-\;21=0.
Agora completamos o quadrado:
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9, \quad y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1.

Passo 3

Substituindo essas identidades na equação original:
2\bigl((x-3)^{2}-9\bigr)\;-\;3\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)\;-\;4z^{2}\;-\;21=0.
Distributando e somando constantes:
2(x-3)^{2} -18 \;-\;3(y+1)^{2} +3 \;-\;4z^{2} -21 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2(x-3)^{2} -3(y+1)^{2} -4z^{2} -36 = 0.

Passo 4

Isolando os quadrados e dividindo por 36:
2(x-3)^{2} -3(y+1)^{2} -4z^{2} = 36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-3)^{2}}{18} \;-\; \frac{(y+1)^{2}}{12} \;-\; \frac{z^{2}}{9} =1.
Como aparece um termo positivo e dois negativos, essa forma é a de um hiperbolóide de duas folhas, cujo centro fica em \bigl(3,\,-1,\,0\bigr).

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas com centro em (3,-1,0).

Exercícios relacionados