Determine a interseção do plano \pi_{1}: x-y=1-3 z com o plano \pi_{2}: 6 z-2 y=2-2 x. Estude a posição relativa das retas r:\left\{\begin{array}{l}x-y-z=2 \\\ x+y-z=0\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+z=5 \\\ x+y-2 z=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a interseção dos planos \pi_{1}\colon x - y = 1 - 3z
    e \pi_{2}\colon 6z - 2y = 2 - 2x.
  2. Estudar a posição relativa das retas
r:\begin{cases}x - y - z = 2,\\\ x + y - z = 0,\end{cases}
s:\begin{cases}2x - 3y + z = 5,\\\ x + y - 2z = 0.\end{cases}
Para isso vamos escrever cada plano na forma padrão e cada reta em forma paramétrica.

Passo 2

Reescrevendo \pi_1 em forma padrão temos
\pi_1:\;x - y + 3z = 1.
Para \pi_2 começamos por agrupar todos os termos no mesmo lado:
6z - 2y + 2x = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 2y + 6z = 2 \quad\Longrightarrow\quad x - y + 3z = 1.
Note que é exatamente a mesma equação de \pi_1.

Passo 3

Como ambas as equações coincidem, concluímos que \pi_1 e \pi_2 são o mesmo plano.
Logo, a interseção é o próprio plano
x - y + 3z = 1.

Passo 4

Para estudar r\), resolvemos \[\begin{cases} x - y - z = 2,\\\ x + y - z = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira obtém-se -2y = 2\], ou seja \(y = -1.
Substituindo em x + y - z=0 x -1 - z=0, logo x = 1 + z.
Chamando t = z, temos a forma paramétrica
r:\;(x,y,z) = (1,-1,0) + t\,(1,0,1).

Passo 5

Para s\), resolvemos \[\begin{cases} 2x - 3y + z = 5,\\\ x + y - 2z = 0. \end{cases}
Da segunda, x + y = 2z\]. Da primeira, \(2x - 3y = 5 - z.
Usando x = 2z - y em 2x - 3y = 5 - z vem
2(2z - y) - 3y = 5 - z \;\Longrightarrow\; 4z - 5y = 5 - z \;\Longrightarrow\; y = z - 1.
Então x = 2z - (z - 1) = z + 1.
Chamando s = z, obtemos
s:\;(x,y,z) = (1,-1,0) + s\,(1,1,1).

Passo 6

Os vetores-direção são \vec v_r = (1,0,1) e \vec v_s = (1,1,1). Eles não são múltiplos, logo as retas não são paralelas.
Como ambas passam por (1,-1,0) quando t=0 em r e s=0 em s, elas se cruzam exatamente nesse ponto.

Resposta

A interseção de \pi_1 e \pi_2 é o próprio plano
x - y + 3z = 1.
As retas r e s intersectam-se no ponto (1,-1,0).

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