Determine a interseção do plano
com o plano
. Estude a posição relativa das retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a interseção dos planos
e. - Estudar a posição relativa das retas
Para isso vamos escrever cada plano na forma padrão e cada reta em forma paramétrica.
Passo 2
Reescrevendo
em forma padrão temos
Para
começamos por agrupar todos os termos no mesmo lado:
Note que é exatamente a mesma equação de
.
Passo 3
Como ambas as equações coincidem, concluímos que
e
são o mesmo plano.
Logo, a interseção é o próprio plano
Logo, a interseção é o próprio plano
Passo 4
Para estudar
Subtraindo a segunda da primeira obtém-se
.
Substituindo em
dá
, logo
.
Chamando , temos a forma paramétrica
Chamando
Passo 5
Para
Da segunda,
.
Usando
em
vem
Então
.
Chamando , obtemos
Chamando
Passo 6
Os vetores-direção são
e
. Eles não são múltiplos, logo as retas não são paralelas.
Como ambas passam por quando
em
e
em
, elas se cruzam exatamente nesse ponto.
Como ambas passam por
Resposta
A interseção de
e
é o próprio plano
As retas
e
intersectam-se no ponto
.