Use o Teorema 4.2.1 para determinar se cada conjunto abaixo é um subespaço de mathbb{R}^{3}. Justifique.
S_{4}=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: b=a-c+1\right\}.

Passo 1

O enunciado define
S_{4} = \{(a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}\mid b = a - c + 1\}
e pede para verificar se S_{4} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Pelo Teorema 4.2.1, um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
(1) o vetor zero de V pertence a W,
(2) W é fechado sob soma de vetores,
(3) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a condição (1): o vetor zero em \mathbb{R}^{3} é \mathbf{0} = (0,0,0). Substituindo em b = a - c + 1 obtemos
0 \;\stackrel{?}{=}\; 0 - 0 + 1 = 1,
que é falso. Logo \mathbf{0}\notin S_{4}.

Resposta

S_{4} não é um subespaço de \mathbb{R}^{3}, pois falha em conter o vetor zero.

Exercícios relacionados