Questão 01) a) Aplicando o divergente na onde
e
são constantes. equação de Maxwell-Ampère e utilizando a equação de Maxwell-Gauss, escrever a equação de conservação da carga elétrica na forma local relacionando densidade de corrente de condução e densidade de cargas livres.
b) Considere uma região do espaço onde o deslocamento elétrico, em coordenadas cartesianas, tem a seguinte expressão:
Determinar a expressão da densidade de cargas livres.
c) Na mesma região, determinar a expressão do divergente da densidade de corrente de condução.
Essa densidade de corrente é de fluxo conservativo? (justificar a resposta)
b) Considere uma região do espaço onde o deslocamento elétrico, em coordenadas cartesianas, tem a seguinte expressão:
c) Na mesma região, determinar a expressão do divergente da densidade de corrente de condução.
Essa densidade de corrente é de fluxo conservativo? (justificar a resposta)
Passo 1
O enunciado pede (a) deduzir a forma local da conservação de carga elétrica a partir das equações de Maxwell–Ampère e de Maxwell–Gauss, relacionando densidade de corrente de condução
e densidade de carga livre
; (b) para
calcular
; (c) usar a conservação de carga para obter
e verificar se esse campo de corrente é de fluxo conservativo. Vamos usar
– Maxwell–Ampère:
– Maxwell–Ampère:
– Maxwell–Gauss:
Passo 2
Aplicamos o divergente em ambos os lados de Maxwell–Ampère. Como
, obtemos
e, trocando ordem de derivação espacial e temporal,
Usando
, chega-se à equação de continuidade (conservação local de carga):
Passo 3
Para encontrar
basta calcular
. Da expressão
temos componentes
Então
Passo 4
Da continuidade
segue
Passo 5
Uma corrente de fluxo conservativo (ou seja, solenoidal) exige
. Aqui encontramos
quando
. Portanto essa densidade de corrente não é de fluxo conservativo.
Resposta
(a)
(b)
(c) , logo não é conservativo porque a divergente não se anula.
(b)
(c)