Questão 01) a) Aplicando o divergente na onde \quad D_{0}, \quad \omega e \quad a são constantes. equação de Maxwell-Ampère e utilizando a equação de Maxwell-Gauss, escrever a equação de conservação da carga elétrica na forma local relacionando densidade de corrente de condução e densidade de cargas livres.
b) Considere uma região do espaço onde o deslocamento elétrico, em coordenadas cartesianas, tem a seguinte expressão:
\vec{D}=\frac{D_{0}}{a} \operatorname{sen}(\omega t)(x \hat{x}+z \hat{y})
Determinar a expressão da densidade de cargas livres.
c) Na mesma região, determinar a expressão do divergente da densidade de corrente de condução.
Essa densidade de corrente é de fluxo conservativo? (justificar a resposta)

Passo 1

O enunciado pede (a) deduzir a forma local da conservação de carga elétrica a partir das equações de Maxwell–Ampère e de Maxwell–Gauss, relacionando densidade de corrente de condução \vec J_{c} e densidade de carga livre \rho_{f}; (b) para
\vec D = \frac{D_{0}}{a}\,\sin(\omega t)\,(x\,\hat x + z\,\hat y)
calcular \rho_{f}; (c) usar a conservação de carga para obter \nabla\cdot\vec J_{c} e verificar se esse campo de corrente é de fluxo conservativo. Vamos usar
– Maxwell–Ampère:
\nabla\times\vec H \;=\;\vec J_{c} \;+\;\frac{\partial\vec D}{\partial t}
– Maxwell–Gauss:
\nabla\cdot\vec D \;=\;\rho_{f}\,.

Passo 2

Aplicamos o divergente em ambos os lados de Maxwell–Ampère. Como \nabla\cdot(\nabla\times\vec H)=0, obtemos
0 \;=\;\nabla\cdot\vec J_{c} \;+\;\nabla\cdot\frac{\partial\vec D}{\partial t}
e, trocando ordem de derivação espacial e temporal,
\nabla\cdot\vec J_{c} \;+\;\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot\vec D\bigr)\;=\;0.
Usando \nabla\cdot\vec D=\rho_{f}, chega-se à equação de continuidade (conservação local de carga):
\boxed{\frac{\partial \rho_{f}}{\partial t} \;+\;\nabla\cdot\vec J_{c} \;=\;0.}

Passo 3

Para encontrar \rho_{f} basta calcular \nabla\cdot\vec D. Da expressão
\vec D(x,y,z,t) =\frac{D_{0}}{a}\,\sin(\omega t)\,(x\,\hat x + z\,\hat y)
temos componentes
D_{x}=\frac{D_{0}}{a}\,x\,\sin(\omega t), \quad D_{y}=\frac{D_{0}}{a}\,z\,\sin(\omega t), \quad D_{z}=0.
Então
\rho_{f} = \nabla\cdot\vec D = \frac{\partial D_{x}}{\partial x} + \frac{\partial D_{y}}{\partial y} + \frac{\partial D_{z}}{\partial z} = \frac{D_{0}}{a}\,\sin(\omega t)\;+\;0\;+\;0 = \frac{D_{0}}{a}\,\sin(\omega t).

Passo 4

Da continuidade \partial_{t}\rho_{f} + \nabla\cdot\vec J_{c}=0 segue
\nabla\cdot\vec J_{c} = -\,\frac{\partial\rho_{f}}{\partial t} = -\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{D_{0}}{a}\sin(\omega t)\Bigr) = -\,\frac{D_{0}}{a}\,\omega\,\cos(\omega t).

Passo 5

Uma corrente de fluxo conservativo (ou seja, solenoidal) exige \nabla\cdot\vec J_{c}=0. Aqui encontramos
\nabla\cdot\vec J_{c} = -\,\frac{D_{0}}{a}\,\omega\,\cos(\omega t) \neq 0
quando \cos(\omega t)\neq 0. Portanto essa densidade de corrente não é de fluxo conservativo.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial\rho_{f}}{\partial t} + \nabla\cdot\vec J_{c}=0.
(b) \displaystyle \rho_{f}=\frac{D_{0}}{a}\,\sin(\omega t).
(c) \displaystyle \nabla\cdot\vec J_{c}=-\,\frac{D_{0}}{a}\,\omega\,\cos(\omega t), logo não é conservativo porque a divergente não se anula.

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