Questão 01) Considere uma região do espaço onde o deslocamento elétrico, em coordenadas cartesianas, tem a seguinte expressão:
\vec{D}=y \frac{D_{0}}{a} \operatorname{sen}(\omega t) \hat{x}
onde \quad D_{0}, \quad \omega e a são constantes.
1a) Calcular a densidade de cargas livres. A indução elétrica é de fluxo conservativo nessa região?
1b) Considerando a permissividade \epsilon uniforme nessa região calcular \overrightarrow{r o t} \vec{E}
1c) Considerando a permissividade constante e a indução magnética \vec{B}=\overrightarrow{0} sobre toda essa região em t=0, calcular a indução magnética em função do tempo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma região do espaço com deslocamento elétrico
\vec{D}(x,y,z,t)=y\,\frac{D_{0}}{a}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{x},
onde D_{0}, \omega e a são constantes. Pede-se
1a) a densidade de carga livre \rho_{\text{livre}} e se \vec{D} é um campo conservativo;
1b) para \epsilon uniforme, calcular \nabla\times\vec{E};
1c) com \vec{B}=0 em t=0 e \epsilon constante, encontrar \vec{B}(t).
Vamos usar as equações de Maxwell
\rho_{\text{livre}}=\nabla\cdot\vec{D},\qquad \vec{D}=\epsilon\,\vec{E},\qquad \nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.

Passo 2

Calcular a densidade de carga livre pela lei de Gauss para \vec{D}:
\rho_{\text{livre}}=\nabla\cdot\vec{D} =\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Aqui D_x=y\,(D_0/a)\operatorname{sen}(\omega t) não depende de x, e D_y=D_z=0. Logo
\rho_{\text{livre}}=0+0+0=0.

Passo 3

Verificar se \vec{D} é campo conservativo (isto é, se \nabla\times\vec{D}=0).
\nabla\times\vec{D} =\begin{vmatrix} \hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ D_x&0&0 \end{vmatrix} =\Bigl(0\Bigr)\hat{x}-\Bigl(0\Bigr)\hat{y}+\Bigl(0-\frac{\partial D_x}{\partial y}\Bigr)\hat{z} =-\frac{D_{0}}{a}\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{z}\neq\vec{0}.
Portanto \vec{D} não é conservativo.

Passo 4

Como \vec{D}=\epsilon\,\vec{E} e \epsilon é uniforme, temos
\vec{E}=\frac{\vec{D}}{\epsilon} =\;y\,\frac{D_{0}}{a\,\epsilon}\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{x}.
Então
\nabla\times\vec{E} =\frac{1}{\epsilon}\,\nabla\times\vec{D} =-\frac{D_{0}}{a\,\epsilon}\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{z}.

Passo 5

Pela lei de Faraday
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} =-\nabla\times\vec{E} =+\frac{D_{0}}{a\,\epsilon}\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{z}.
Integramos em t:
\vec{B}(t) =\int_{0}^{t}\frac{D_{0}}{a\,\epsilon}\operatorname{sen}(\omega t')\,dt'\;\hat{z}+\vec{B}(0).
Como \vec{B}(0)=\vec{0} e \displaystyle\int\operatorname{sen}(\omega t')\,dt'=-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t'), segue
\vec{B}(t) =-\frac{D_{0}}{a\,\epsilon\,\omega}\bigl[\cos(\omega t)-\cos(0)\bigr]\hat{z} =\frac{D_{0}}{a\,\epsilon\,\omega}\bigl[1-\cos(\omega t)\bigr]\hat{z}.

Resposta

1a) \rho_{\text{livre}}=0. Não é campo conservativo (pois \nabla\times\vec{D}\neq0).
1b) \displaystyle\nabla\times\vec{E}=-\frac{D_{0}}{a\,\epsilon}\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{z}.
1c) \displaystyle\vec{B}(t)=\frac{D_{0}}{a\,\epsilon\,\omega}\bigl[1-\cos(\omega t)\bigr]\hat{z}.

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