Questão 01) a) Escreva as 4 equações de Maxwell no vácuo em termos de campo elétrico ( \vec{E} ), campo magnético ( \vec{H} ), permissividade ( \varepsilon_{0} ) e permeabilidade ( \mu_{0} ).
b) Demostrar que a indução magnética verifica a equação de onda: \vec{\Delta} \vec{B}=\varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}
Justificar cada etapa do cálculo. (3 pontos)

Passo 1

O enunciado pede em (a) que a gente escreva as quatro equações de Maxwell no vácuo usando os campos \vec{E} e \vec{H} e as constantes \varepsilon_0 e \mu_0. Em (b) a gente deve mostrar que o vetor indução magnética satisfaz a equação de onda
\Delta\vec{B} \;=\;\varepsilon_{0}\,\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}.
Para isso vamos usar cálculo vetorial (rotacional, divergente e identidade de rot rot) e a relação \vec{B}=\mu_{0}\,\vec{H}.

Passo 2

As quatro equações de Maxwell no vácuo, sem cargas nem correntes livres, são:
\nabla\!\cdot \vec{E} \;=\;0
\nabla\!\cdot \vec{H} \;=\;0
\nabla\times \vec{E} \;=\;-\,\mu_{0}\,\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}
\nabla\times \vec{H} \;=\;\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Passo 3

Para chegar à equação de onda para \vec{H}, aplicamos o operador rotacional em ambos os lados de
\nabla\times \vec{H} \;=\;\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.
Isso dá
\nabla\times\bigl(\nabla\times \vec{H}\bigr) \;=\; \varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \vec{E}\bigr),
onde legitimamente passamos a derivada em t para fora do rotacional.

Passo 4

No lado direito usamos a Lei de Faraday \nabla\times \vec{E}=-\mu_{0}\,\partial\vec{H}/\partial t. Substituindo, obtemos
\varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \vec{E}\bigr) = \varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\mu_{0}\,\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}\Bigr) = -\varepsilon_{0}\,\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}}.

Passo 5

No lado esquerdo usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times \vec{H}) =\nabla(\nabla\!\cdot \vec{H})-\nabla^{2}\vec{H}.
Como \nabla\!\cdot\vec{H}=0, isso reduz a
\nabla\times(\nabla\times \vec{H}) =-\,\nabla^{2}\vec{H}.

Passo 6

Juntando Passo 3, Passo 4 e Passo 5, temos
-\,\nabla^{2}\vec{H} = -\,\varepsilon_{0}\,\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^{2}\vec{H} = \varepsilon_{0}\,\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}}.

Passo 7

Como \vec{B}=\mu_{0}\,\vec{H} e \mu_{0} é constante, basta multiplicar a equação acima por \mu_{0} e notar que \partial^{2}\vec{B}/\partial t^{2}=\mu_{0}\,\partial^{2}\vec{H}/\partial t^{2}. Assim chegamos à equação de onda para \vec{B}:
\nabla^{2}\vec{B} = \varepsilon_{0}\,\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}.

Resposta

(a)
\nabla\!\cdot \vec{E}=0,\quad \nabla\!\cdot \vec{H}=0,\quad \nabla\times \vec{E}=-\mu_{0}\,\frac{\partial \vec{H}}{\partial t},\quad \nabla\times \vec{H}=\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.
(b)
\nabla^{2}\vec{B} = \varepsilon_{0}\,\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}.

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