Questão 01) a) Escreva as 4 equações de Maxwell no vácuo em termos de campo elétrico (
), campo magnético (
), permissividade (
) e permeabilidade (
).
b) Demostrar que a indução magnética verifica a equação de onda:
Justificar cada etapa do cálculo. (3 pontos)
b) Demostrar que a indução magnética verifica a equação de onda:
Justificar cada etapa do cálculo. (3 pontos)
Passo 1
O enunciado pede em (a) que a gente escreva as quatro equações de Maxwell no vácuo usando os campos
e
e as constantes
e
. Em (b) a gente deve mostrar que o vetor indução magnética satisfaz a equação de onda
Para isso vamos usar cálculo vetorial (rotacional, divergente e identidade de rot rot) e a relação
.
Passo 2
As quatro equações de Maxwell no vácuo, sem cargas nem correntes livres, são:
Passo 3
Para chegar à equação de onda para
, aplicamos o operador rotacional em ambos os lados de
Isso dá
onde legitimamente passamos a derivada em
para fora do rotacional.
Passo 4
No lado direito usamos a Lei de Faraday
. Substituindo, obtemos
Passo 5
No lado esquerdo usamos a identidade vetorial
Como
, isso reduz a
Passo 6
Juntando Passo 3, Passo 4 e Passo 5, temos
Passo 7
Como
e
é constante, basta multiplicar a equação acima por
e notar que
. Assim chegamos à equação de onda para
:
Resposta
(a)
(b)