Questão 2 (30 pontos)

Em sistemas de energia, os circuitos RL são usados para proteger os sistemas contra surtos de corrente. O indutor limita a taxa de variação da corrente, protegendo o sistema contra picos de corrente. Considere um circuito RL, no qual o L precisa ser dimensionado e o R é a representação de uma carga resistiva de 750 W para uma tensão de 100 u(t) \mathrm{V} em corrente contínua e no regime permanente.
a) ( 10 pontos) Determine o modelo diferencial da corrente do indutor para o problema.
b) ( 10 pontos) Dimensione a indutância do indutor para que a variação de corrente não ultrapasse o valor de 2.500 \mathrm{~A} / \mathrm{s} no instante de ligar a carga.
c) ( 10 pontos) Determine a resposta da corrente do indutor para t>0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RL alimentado por \displaystyle 100\,u(t);V em regime permanente. A resistência representa uma carga de 750;W a 100;V, e o indutor deve ser dimensionado para limitar a derivada da corrente. Vamos usar a lei de Kirchhoff de tensão (KVL) para montar o modelo diferencial, a relação de potência para achar R, e a solução da EDO linear de primeira ordem para obter i(t).

Passo 2

Para achar R usamos a relação de potência em corrente contínua:
P = \frac{V^2}{R}
Logo,
R = \frac{V^2}{P} = \frac{100^2}{750} \,\Omega = \frac{10000}{750}\,\Omega = \frac{40}{3}\,\Omega \approx 13{,}33\,\Omega.

Passo 3

Aplicando KVL ao laço série RL com tensão v_s(t)=100\,u(t);V:
L\frac{di}{dt} + R\,i = 100\,u(t).

Passo 4

No instante de ligação t=0^+ vale i(0)=0, então
\left.\frac{di}{dt}\right|_{0^+} = \frac{v_s(0^+)-R\,i(0)}{L} = \frac{100}{L}.
Para não ultrapassar 2500;A/s, impomos
\frac{100}{L} \le 2500 \quad\Longrightarrow\quad L \ge \frac{100}{2500} = 0{,}04\;\mathrm{H}.

Passo 5

A EDO é linear com coeficiente de amortecimento R/L. A solução geral para t>0 é
i(t) = I_{\infty}\Bigl(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\Bigr),
onde a solução particular I_{\infty} = \dfrac{100}{R}. Substituindo R=\tfrac{40}{3}\,\Omega e escolhendo o menor L=0{,}04;H:
I_{\infty} = \frac{100}{40/3} = 7{,}5\;\mathrm{A}, \quad \frac{R}{L} = \frac{40/3}{0{,}04} = 333{,}33\;\mathrm{s^{-1}}.
Logo,
i(t) = 7{,}5\Bigl(1 - e^{-333{,}33\,t}\Bigr)\;\mathrm{A}.

Resposta

a) O modelo diferencial é
L\frac{di}{dt} + R\,i = 100\,u(t),
com R=\tfrac{40}{3}\,\Omega.
b) Para \bigl.di/dt\bigr|_{0^+}\le2500;A/s, requer L\ge0{,}04;H.
c) A resposta da corrente para t>0 é
i(t) = 7{,}5\Bigl(1 - e^{-333{,}33\,t}\Bigr)\;\mathrm{A}.

Exercícios relacionados