Questão 01) A equação de onda no vácuo na forma local, em função do campo elétrico, da permeabilidade
e da permissividade
é:
1a) Mostrar como essa equação pode ser deduzida a partir das equações de Maxwell no vácuo.
1b) Considere uma região do espaço onde o campo elétrico, em coordenadas cartesianas, tem a seguinte expressão:
onde
são constantes.
Calcule
e calcule
.
Verificar que
é uma solução possível da equação de onda nessa região.
1c) Determinar a expressão da derivada com relação ao tempo do campo magnético:
.
(3 pontos)
1a) Mostrar como essa equação pode ser deduzida a partir das equações de Maxwell no vácuo.
1b) Considere uma região do espaço onde o campo elétrico, em coordenadas cartesianas, tem a seguinte expressão:
Calcule
Verificar que
1c) Determinar a expressão da derivada com relação ao tempo do campo magnético:
(3 pontos)
Passo 1
O enunciado pede em (1a) deduzir a equação de onda
a partir das equações de Maxwell no vácuo (sem carga e sem corrente). Em (1b) temos um campo
e precisamos calcular
e
e verificar que satisfazem a equação de onda. Em (1c) usaremos a lei de Faraday
para obter
.
Passo 2
Derivação da equação de onda para
. No vácuo temos
Tomamos o rotacional da primeira:
pelo lado direito e substituímos a segunda equação, e pelo lado esquerdo usamos o identidade vectorial
. Como
, vem
Passo 3
Cálculo de
. Como
só depende de
e está na direção
,
Definindo
,
Portanto
Passo 4
Cálculo de
e verificação.
Como
,
, logo
confirmando que
satisfaz a equação de onda.
Passo 5
Determinação de
. Usamos
O único componente não nulo de
é o de
:
Então
Resposta
1a) A partir de
e
e usando , chega-se a
1b)
e com verifica-se a equação de onda.
1c)
e
e usando
1b)
e com
1c)