Questão 01) A equação de onda no vácuo na forma local, em função do campo elétrico, da permeabilidade \quad \mu_{0} e da permissividade \epsilon_{0} é:
\vec{\Delta} \vec{E}=\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}
1a) Mostrar como essa equação pode ser deduzida a partir das equações de Maxwell no vácuo.
1b) Considere uma região do espaço onde o campo elétrico, em coordenadas cartesianas, tem a seguinte expressão:
\vec{E}(x, t)=E_{0} \operatorname{sen}\left(c_{0} t-x\right) \hat{z}
onde \quad E_{0}, \quad c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}} são constantes.
Calcule \vec{\Delta} \vec{E} e calcule \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}.
Verificar que \vec{E} é uma solução possível da equação de onda nessa região.
1c) Determinar a expressão da derivada com relação ao tempo do campo magnético: \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}.
(3 pontos)

Passo 1

O enunciado pede em (1a) deduzir a equação de onda
\nabla^{2}\vec{E}=\epsilon_{0}\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}
a partir das equações de Maxwell no vácuo (sem carga e sem corrente). Em (1b) temos um campo
\vec{E}(x,t)=E_{0}\,\sin\bigl(c_{0}t - x\bigr)\,\hat{z},\quad c_{0}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}},
e precisamos calcular \nabla^{2}\vec{E} e \partial^{2}\vec{E}/\partial t^{2} e verificar que satisfazem a equação de onda. Em (1c) usaremos a lei de Faraday
\nabla\times \vec{E}=-\mu_{0}\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}
para obter \partial\vec{H}/\partial t.

Passo 2

Derivação da equação de onda para \vec{E}. No vácuo temos
\nabla\times \vec{E}=-\mu_{0}\frac{\partial \vec{H}}{\partial t},\qquad \nabla\times \vec{H}=\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t},\qquad \nabla\cdot\vec{E}=0.
Tomamos o rotacional da primeira:
\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\mu_{0}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{H})
pelo lado direito e substituímos a segunda equação, e pelo lado esquerdo usamos o identidade vectorial \nabla\times(\nabla\times\vec{E})=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^{2}\vec{E}. Como \nabla\cdot\vec{E}=0, vem
-\nabla^{2}\vec{E}=-\mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}\,\Longrightarrow\\ \nabla^{2}\vec{E}=\epsilon_{0}\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 3

Cálculo de \nabla^{2}\vec{E}. Como \vec{E} só depende de x e está na direção \hat{z},
\nabla^{2}\vec{E}=\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial x^{2}} =E_{0}\,\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\sin(c_{0}t-x)\,\hat{z}.
Definindo \theta=c_{0}t-x,
\frac{\partial}{\partial x}\sin\theta=-\cos\theta,\quad \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\sin\theta=-\frac{\partial}{\partial x}\cos\theta =-\bigl(-\sin\theta\bigr)=-\sin\theta.
Portanto
\nabla^{2}\vec{E}=-E_{0}\,\sin(c_{0}t-x)\,\hat{z}.

Passo 4

Cálculo de \partial^{2}\vec{E}/\partial t^{2} e verificação.
\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} =E_{0}\,c_{0}\cos(c_{0}t-x)\,\hat{z},
\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} =E_{0}\,c_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\cos(c_{0}t-x)\,\hat{z} =E_{0}\,c_{0}\bigl(-\sin(c_{0}t-x)\bigr)\,c_{0}\,\hat{z} =-E_{0}\,c_{0}^{2}\sin(c_{0}t-x)\,\hat{z}.
Como c_{0}=1/\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}, \epsilon_{0}\mu_{0}c_{0}^{2}=1, logo
\epsilon_{0}\mu_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} =-E_{0}\,\sin(c_{0}t-x)\,\hat{z} =\nabla^{2}\vec{E},
confirmando que \vec{E} satisfaz a equação de onda.

Passo 5

Determinação de \partial\vec{H}/\partial t. Usamos
\nabla\times \vec{E}=-\mu_{0}\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}.
O único componente não nulo de \nabla\times\vec{E} é o de \hat{y}:
\nabla\times\vec{E} =\Bigl(0,\;-\frac{\partial E_{z}}{\partial x},\;0\Bigr) =\Bigl(0,\;-(-E_{0}\cos(c_{0}t-x)),\;0\Bigr) =E_{0}\cos(c_{0}t-x)\,\hat{y}.
Então
-\mu_{0}\frac{\partial \vec{H}}{\partial t} =E_{0}\cos(c_{0}t-x)\,\hat{y} \;\Longrightarrow\; \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} =-\frac{E_{0}}{\mu_{0}}\cos(c_{0}t-x)\,\hat{y}.

Resposta

1a) A partir de \nabla\times \vec{E}=-\mu_{0}\partial_{t}\vec{H}
e \nabla\times \vec{H}=\epsilon_{0}\partial_{t}\vec{E}
e usando \nabla\cdot\vec{E}=0, chega-se a \nabla^{2}\vec{E}=\epsilon_{0}\mu_{0}\partial^{2}_{t}\vec{E}.
1b) \nabla^{2}\vec{E}=-E_{0}\sin(c_{0}t-x)\,\hat{z}, \partial^{2}_{t}\vec{E}=-E_{0}c_{0}^{2}\sin(c_{0}t-x)\,\hat{z},
e com \epsilon_{0}\mu_{0}c_{0}^{2}=1 verifica-se a equação de onda.
1c) \displaystyle \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} =-\frac{E_{0}}{\mu_{0}}\cos(c_{0}t-x)\,\hat{y}.

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