QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}+1}{x^{2}-5 x+6}.

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}+1}{x^{2}-5x+6}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre o polinômio \,x^{4}+1, (numerador) e o polinômio quadrático \,x^{2}-5x+6, (denominador), e a variável x tende para \,2.

Passo 2

Primeiro teste: substituir x=2 diretamente para ver se obtemos uma forma conhecida.
Calculemos o numerador em x=2:
2^{4}+1=16+1=17.
Calculemos o denominador em x=2:
2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0.
Conclusão desta verificação: ao substituir vem \frac{17}{0}, ou seja, não é a forma indeterminada \frac{0}{0}; o numerador é diferente de zero e o denominador é zero.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para entender melhor o comportamento perto de x=2.
Fatora-se o quadrático procurando raízes cuja soma é 5 e produto é 6: 2 e 3. Assim
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Então a função fica
\frac{x^{4}+1}{x^{2}-5x+6}=\frac{x^{4}+1}{(x-2)(x-3)}.

Passo 4

Conceito importante (mini-aula): quando o numerador tende para um número diferente de zero e o denominador tende para zero, o quociente tende para infinito em módulo. O sinal (positivo ou negativo) desse infinito depende dos sinais das parcelas do denominador ao nos aproximarmos de x pelo lado esquerdo ( x\to 2^-) ou pelo lado direito ( x\to 2^+). Para a análise de sinal, basta saber que o numerador próximo de x=2 é positivo (já que é próximo de 17), então o sinal do quociente é o mesmo do sinal do denominador (x-2)(x-3) perto de 2.

Passo 5

Análise para o limite à esquerda, x\to 2^{-}:
  • Para x um pouco menor que 2 temos (x-2)<0.
  • Para esses x também temos (x-3)<0 porque x está perto de 2 e 2-3=-1.
  • Produto: (x-2)(x-3) é negativo vezes negativo, ou seja, positivo (mas com módulo pequeno, tende a 0^{+}).
  • O numerador está próximo de 17>0.
    Portanto a razão tende para +\infty. Em símbolos:
\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x^{4}+1}{x^{2}-5x+6}=+\infty.

Passo 6

Análise para o limite à direita, x\to 2^{+}:
  • Para x um pouco maior que 2 temos (x-2)>0.
  • Ainda temos (x-3)<0 porque x está perto de 2 e 2<3.
  • Produto: (x-2)(x-3) é positivo vezes negativo, ou seja, negativo (com módulo pequeno, tende a 0^{-}).
  • O numerador continua positivo (próximo de 17).
    Portanto a razão tende para -\infty. Em símbolos:
\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x^{4}+1}{x^{2}-5x+6}=-\infty.

Passo 7

Conclusão: as duas limites laterais são diferentes ( +\infty e -\infty), então o limite bilateral não existe como número finito nem como infinito único. Geometricamente isso indica uma assíntota vertical em x=2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}}\frac{x^{4}+1}{x^{2}-5x+6}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}\frac{x^{4}+1}{x^{2}-5x+6}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{4}+1}{x^{2}-5x+6} não existe.

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