QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
.
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão é a razão entre o polinômio
, (numerador) e o polinômio quadrático
, (denominador), e a variável
tende para
.
Passo 2
Primeiro teste: substituir
diretamente para ver se obtemos uma forma conhecida.
Calculemos o numerador em :
Calculemos o numerador em
Calculemos o denominador em
:
Conclusão desta verificação: ao substituir vem
, ou seja, não é a forma indeterminada
; o numerador é diferente de zero e o denominador é zero.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador para entender melhor o comportamento perto de
.
Fatora-se o quadrático procurando raízes cuja soma é e produto é
:
e
. Assim
Fatora-se o quadrático procurando raízes cuja soma é
Então a função fica
Passo 4
Conceito importante (mini-aula): quando o numerador tende para um número diferente de zero e o denominador tende para zero, o quociente tende para infinito em módulo. O sinal (positivo ou negativo) desse infinito depende dos sinais das parcelas do denominador ao nos aproximarmos de
pelo lado esquerdo (
) ou pelo lado direito (
). Para a análise de sinal, basta saber que o numerador próximo de
é positivo (já que é próximo de
), então o sinal do quociente é o mesmo do sinal do denominador
perto de
.
Passo 5
Análise para o limite à esquerda,
:
- Para
um pouco menor que temos . - Para esses
também temos porque está perto de e . - Produto:
é negativo vezes negativo, ou seja, positivo (mas com módulo pequeno, tende a ). - O numerador está próximo de
.
Portanto a razão tende para. Em símbolos:
Passo 6
Análise para o limite à direita,
:
- Para
um pouco maior que temos . - Ainda temos
porque está perto de e . - Produto:
é positivo vezes negativo, ou seja, negativo (com módulo pequeno, tende a ). - O numerador continua positivo (próximo de
).
Portanto a razão tende para. Em símbolos:
Passo 7
Conclusão: as duas limites laterais são diferentes (
e
), então o limite bilateral não existe como número finito nem como infinito único. Geometricamente isso indica uma assíntota vertical em
.