QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{4}+2 x^{3}-x^{2}+1}{x^{5}-x+7}.

Passo 1

O enunciado pede que avaliemos o limite
\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1}{x^{5}-x+7}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Numerador: }x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1,
\text{Denominador: }x^{5}-x+7.
O que nos é perguntado: determinar o valor desse limite quando x tende para -\infty.

Passo 2

Ideia-chave (sem calcular ainda): para limites envolvendo polinômios quando x\to\pm\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui o grau do numerador é 4 (coeficiente líder +1) e o grau do denominador é 5 (coeficiente líder +1). Vamos fazer o procedimento algébrico padrão para ficar certinho: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{5}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{5} obtemos
\frac{x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1}{x^{5}-x+7} = \frac{\dfrac{x^{4}}{x^{5}}+\dfrac{2x^{3}}{x^{5}}-\dfrac{x^{2}}{x^{5}}+\dfrac{1}{x^{5}}} {\dfrac{x^{5}}{x^{5}}-\dfrac{x}{x^{5}}+\dfrac{7}{x^{5}}}.
Simplificando cada fração, isso fica
\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{5}}} {1-\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{7}{x^{5}}}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite termo a termo, lembrando do comportamento das potências de x quando x\to -\infty: para qualquer inteiro k>0 temos \dfrac{1}{x^{k}}\to 0. Em particular,
\dfrac{1}{x}\to 0,\quad \dfrac{2}{x^{2}}\to 0,\quad \dfrac{1}{x^{3}}\to 0,\quad \dfrac{1}{x^{4}}\to 0,\quad \dfrac{7}{x^{5}}\to 0
quando x\to -\infty.
Substituindo esses limites na expressão do Passo 4, o numerador tende para 0+0-0+0=0 e o denominador tende para 1-0+0=1. Assim a fração tende para \dfrac{0}{1}=0. Observação adicional e intuitiva: o numerador cresce como x^{4} (positivo para grandes |x|), o denominador cresce como x^{5} (mudando de sinal com x por ser potência ímpar); como o grau do denominador é maior, a razão vira 0 (mais precisamente tende a 0 vindo do lado negativo quando x\to -\infty, mas o limite é 0).

Resposta

0

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