QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas: a expressão envolvendo funções trigonométricas
(seno) e
(tangente) avaliadas em múltiplos de
. A incógnita é o comportamento quando
tende a
. Não há outras condições ou figuras.
Passo 2
Estratégia (apenas para organizar a resolução): vamos usar limites fundamentais de trigonometria para ângulos pequenos, em particular
e manipular algebricamente a expressão para pôr fatores do tipo
e
. Antes de aplicar, vou explicar e justificar esses limites fundamentais com calma.
Passo 3
Aula curta sobre
.
- Para
pequeno e positivo (por exemplo ) vale a desigualdade geométrica clássica
- Dividindo por
obtemos
- Invertendo toda a desigualdade (invertendo sinais também) resulta
- Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue
Observação intuitiva: para ângulos muito pequenos seno e tangente se aproximam muito do próprio ângulo (em radianos), por isso a razão tende a 1.
Passo 4
Aula curta sobre
.
Escrevemos
Quando
sabemos que
(Passo 3) e
, portanto
Passo 5
Agora manipulo a expressão do enunciado de forma a usar os limites acima.
Começo reescrevendo
e
como produtos com
e
:
Substituindo no denominador:
Agrupando os fatores:
Passo 6
Aplicando o limite em ambos os fatores. Como produto/razão de limites (quando existem), temos
Agora usamos as substituições
e
. Quando
temos
e
, então pelos limites fundamentais do Passo 3 e Passo 4:
Portanto