QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(5 x) \operatorname{tg}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(5x)\,\operatorname{tg}(3x)}.
Informações dadas: a expressão envolvendo funções trigonométricas \operatorname{sen} (seno) e \operatorname{tg} (tangente) avaliadas em múltiplos de x. A incógnita é o comportamento quando x tende a 0. Não há outras condições ou figuras.

Passo 2

Estratégia (apenas para organizar a resolução): vamos usar limites fundamentais de trigonometria para ângulos pequenos, em particular
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1,
e manipular algebricamente a expressão para pôr fatores do tipo \frac{\sin(5x)}{5x} e \frac{\tan(3x)}{3x}. Antes de aplicar, vou explicar e justificar esses limites fundamentais com calma.

Passo 3

Aula curta sobre \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
  1. Para t pequeno e positivo (por exemplo 0<t<\frac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica clássica
\sin t < t < \tan t.
  1. Dividindo por \sin t>0 obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
  1. Invertendo toda a desigualdade (invertendo sinais também) resulta
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
  1. Como \displaystyle\lim_{t\to 0}\cos t = 1, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Observação intuitiva: para ângulos muito pequenos seno e tangente se aproximam muito do próprio ângulo (em radianos), por isso a razão tende a 1.

Passo 4

Aula curta sobre \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1.
Escrevemos
\frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}.
Quando t\to 0 sabemos que \displaystyle\frac{\sin t}{t}\to 1 (Passo 3) e \cos t\to 1, portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1\cdot\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Agora manipulo a expressão do enunciado de forma a usar os limites acima.
Começo reescrevendo \sin(5x) e \tan(3x) como produtos com 5x e 3x:
\sin(5x)=5x\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}, \qquad \tan(3x)=3x\cdot\frac{\tan(3x)}{3x}.
Substituindo no denominador:
\frac{x^{2}}{\sin(5x)\,\tan(3x)} =\frac{x^{2}}{\bigl(5x\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\bigr)\bigl(3x\cdot\frac{\tan(3x)}{3x}\bigr)}.
Agrupando os fatores:
\frac{x^{2}}{\sin(5x)\,\tan(3x)} =\frac{x^{2}}{15x^{2}}\cdot\frac{1}{\displaystyle\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot\frac{\tan(3x)}{3x}} =\frac{1}{15}\cdot\frac{1}{\displaystyle\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot\frac{\tan(3x)}{3x}}.

Passo 6

Aplicando o limite em ambos os fatores. Como produto/razão de limites (quando existem), temos
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{\sin(5x)\,\tan(3x)} =\frac{1}{15}\cdot\frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\tan(3x)}{3x}}.
Agora usamos as substituições t=5x e u=3x. Quando x\to 0 temos t\to 0 e u\to 0, então pelos limites fundamentais do Passo 3 e Passo 4:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan(3x)}{3x}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{\sin(5x)\,\tan(3x)} =\frac{1}{15}\cdot\frac{1}{1\cdot 1}=\frac{1}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{15}

Exercícios relacionados