Suponha que a Temperatura em um ponto (
) de uma placa de metal seja
. Uma formiga, andando sobre a placa percorre um círculo de raio
, centrado na origem. Qual é a maior e a menor temperatura encontrada pela formiga?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em cada ponto
da placa por
e diz que a formiga percorre o círculo de raio
centrado na origem. Ou seja, a formiga anda sobre os pontos que satisfazem
Pergunta: qual é a maior e a menor temperatura que a formiga encontra ao percorrer esse círculo?
Passo 2
Escolha do método: como a restrição é exatamente o círculo unitário, a maneira mais direta é parametrizar o círculo usando funções trigonométricas. Isso transforma o problema numa função de uma única variável (um ângulo), e aí usamos cálculo de uma variável para achar máximo e mínimo. Essa abordagem é simples e rápida na prova.
Parametrização do círculo de raio
centrado na origem:
onde
varia em
. Agora vamos substituir essa parametrização em
para obter
como função de
.
Passo 3
Substituindo
e
em
:
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro agrupo os termos quadráticos:
Usamos as identidades de ângulo duplo
e também
Aplicando essas identidades:
E o termo misto fica
Somando tudo:
Passo 4
Agora temos uma função trigonométrica na forma
onde
e
. Existe uma identidade muito útil que diz que uma combinação linear de
e
pode ser escrita como um único cosseno deslocado:
onde
é a amplitude, e
é um ângulo tal que
e
. Isso é útil porque
varia entre
e
, então o termo oscilante atinge valores entre
e
.
Calculemos
:
Portanto podemos escrever
para algum
. O importante aqui é que a parte variável tem amplitude
.
Passo 5
Como
varia entre
e
, o termo variável
varia entre
e
. Assim,
atinge o valor máximo quando
e o valor mínimo quando
. Logo:
Passo 6
Breve interpretação intuitiva: a temperatura é uma forma quadrática em
. Sobre a circunferência unitária, essa forma varia entre os autovalores da matriz simétrica associada; aqui esses autovalores seriam
e
, que coincidem com os valores mínimo e máximo que encontramos. Mas esse ponto é só para contexto — o cálculo por parametrização já nos deu as respostas numéricas.
Resposta
Maior temperatura:
Menor temperatura:
Menor temperatura: