Suponha que a Temperatura em um ponto ( x, y ) de uma placa de metal seja T(x, y)= 4 x^{2}-4 x y+y^{2}. Uma formiga, andando sobre a placa percorre um círculo de raio 1 c m, centrado na origem. Qual é a maior e a menor temperatura encontrada pela formiga?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em cada ponto (x,y) da placa por
T(x,y)=4x^{2}-4xy+y^{2}
e diz que a formiga percorre o círculo de raio 1 centrado na origem. Ou seja, a formiga anda sobre os pontos que satisfazem
x^{2}+y^{2}=1.
Pergunta: qual é a maior e a menor temperatura que a formiga encontra ao percorrer esse círculo?

Passo 2

Escolha do método: como a restrição é exatamente o círculo unitário, a maneira mais direta é parametrizar o círculo usando funções trigonométricas. Isso transforma o problema numa função de uma única variável (um ângulo), e aí usamos cálculo de uma variável para achar máximo e mínimo. Essa abordagem é simples e rápida na prova.
Parametrização do círculo de raio 1 centrado na origem:
x=\cos t,\qquad y=\sin t,
onde t varia em [0,2\pi). Agora vamos substituir essa parametrização em T(x,y) para obter T como função de t.

Passo 3

Substituindo x=\cos t e y=\sin t em T:
T(t)=4\cos^{2}t-4\cos t\sin t+\sin^{2}t.
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro agrupo os termos quadráticos:
4\cos^{2}t+\sin^{2}t=(4\cos^{2}t+\sin^{2}t).
Usamos as identidades de ângulo duplo
\cos^{2}t=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2t),\qquad \sin^{2}t=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2t),
e também
\sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin 2t.
Aplicando essas identidades:
4\cos^{2}t+\sin^{2}t=4\cdot \tfrac{1}{2}(1+\cos 2t)+\tfrac{1}{2}(1-\cos 2t)
=2(1+\cos 2t)+\tfrac{1}{2}(1-\cos 2t)
=2+\tfrac{1}{2} + \bigl(2-\tfrac{1}{2}\bigr)\cos 2t
=\tfrac{5}{2}+\tfrac{3}{2}\cos 2t.
E o termo misto fica
-4\cos t\sin t=-4\cdot \tfrac{1}{2}\sin 2t=-2\sin 2t.
Somando tudo:
T(t)=\tfrac{5}{2}+\tfrac{3}{2}\cos 2t -2\sin 2t.

Passo 4

Agora temos uma função trigonométrica na forma
T(t)=\tfrac{5}{2}+a\cos 2t + b\sin 2t,
onde a=\tfrac{3}{2} e b=-2. Existe uma identidade muito útil que diz que uma combinação linear de \cos e \sin pode ser escrita como um único cosseno deslocado:
a\cos u + b\sin u = R\cos(u-\varphi),
onde
R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
é a amplitude, e \varphi é um ângulo tal que \cos\varphi=\dfrac{a}{R} e \sin\varphi=\dfrac{b}{R}. Isso é útil porque \cos(u-\varphi) varia entre -1 e 1, então o termo oscilante atinge valores entre -R e R.
Calculemos R:
R=\sqrt{\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+4} =\sqrt{\tfrac{9+16}{4}} =\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac{5}{2}.
Portanto podemos escrever
\tfrac{3}{2}\cos 2t -2\sin 2t = \tfrac{5}{2}\cos(2t-\varphi)
para algum \varphi. O importante aqui é que a parte variável tem amplitude \tfrac{5}{2}.

Passo 5

Como \cos(2t-\varphi) varia entre -1 e 1, o termo variável \tfrac{5}{2}\cos(2t-\varphi) varia entre -\tfrac{5}{2} e \tfrac{5}{2}. Assim,
T(t)=\tfrac{5}{2}+\tfrac{5}{2}\cos(2t-\varphi)
atinge o valor máximo quando \cos(2t-\varphi)=1 e o valor mínimo quando \cos(2t-\varphi)=-1. Logo:
T_{\max}=\tfrac{5}{2}+\tfrac{5}{2}=5,
T_{\min}=\tfrac{5}{2}-\tfrac{5}{2}=0.

Passo 6

Breve interpretação intuitiva: a temperatura é uma forma quadrática em (x,y). Sobre a circunferência unitária, essa forma varia entre os autovalores da matriz simétrica associada; aqui esses autovalores seriam 0 e 5, que coincidem com os valores mínimo e máximo que encontramos. Mas esse ponto é só para contexto — o cálculo por parametrização já nos deu as respostas numéricas.

Resposta

Maior temperatura: 5
Menor temperatura: 0

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