QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é a constante
. - O denominador é
. - Quando
temos , então se aproxima de . Logo o denominador tende para (a partir de valores positivos), então o limite pode divergir para infinito; precisamos estudar a velocidade dessa aproximação para decidir o comportamento exato.
Passo 2
Faço a substituição simples
. Assim
quando
e o limite vira
Passo 3
Uso uma identidade trigonométrica útil para
:
Prova curta: seja
, então
com
. Temos
. Somando dá
.
Dessa identidade segue exatamente
Dessa identidade segue exatamente
Passo 4
Aplicando isso ao limite (lembrando que
) obtemos
Agora faça a substituição
. Quando
temos
. O limite fica
Passo 5
Estudamos o comportamento de
quando
. É um fato padrão (derivado do desenvolvimento em série ou do fato de que
) que
Isto quer dizer que, para
pequeno,
é equivalente a
:
. Substituindo no limite,
Como
, temos
. Portanto a expressão acima tende para
.
Passo 6
Concluímos que a velocidade com que
se aproxima de
é da ordem de
, o que faz o denominador da expressão original decair como
e o quociente crescer como
. Assim o limite diverge para
.