QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\frac{\pi}{2}-\left[\operatorname{arctg}\left(x^{2}\right)\right]}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é a constante 2.
  • O denominador é \dfrac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr).
  • Quando x\to\infty temos x^{2}\to\infty, então \operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr) se aproxima de \dfrac{\pi}{2}. Logo o denominador tende para 0 (a partir de valores positivos), então o limite pode divergir para infinito; precisamos estudar a velocidade dessa aproximação para decidir o comportamento exato.

Passo 2

Faço a substituição simples u=x^{2}. Assim u\to\infty quando x\to\infty e o limite vira
\lim_{u\to\infty}\frac{2}{\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(u)}.

Passo 3

Uso uma identidade trigonométrica útil para u>0:
\operatorname{arctg}(u)+\operatorname{arctg}\!\bigl(1/u\bigr)=\frac{\pi}{2}.
Prova curta: seja \theta=\operatorname{arctg}(u), então \tan\theta=u com \theta\in(0,\pi/2). Temos \operatorname{arctg}(1/u)=\operatorname{arctg}(\cot\theta)=\frac{\pi}{2}-\theta. Somando dá \frac{\pi}{2}.
Dessa identidade segue exatamente
\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(u)=\operatorname{arctg}\!\bigl(1/u\bigr).

Passo 4

Aplicando isso ao limite (lembrando que u=x^{2}) obtemos
\lim_{u\to\infty}\frac{2}{\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(u)} =\lim_{u\to\infty}\frac{2}{\operatorname{arctg}\!\bigl(1/u\bigr)} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\operatorname{arctg}\!\bigl(1/x^{2}\bigr)}.
Agora faça a substituição s=\dfrac{1}{x^{2}}. Quando x\to\infty temos s\to 0^{+}. O limite fica
\lim_{s\to 0^{+}}\frac{2}{\operatorname{arctg}(s)}.

Passo 5

Estudamos o comportamento de \operatorname{arctg}(s) quando s\to 0. É um fato padrão (derivado do desenvolvimento em série ou do fato de que (\operatorname{arctg})'(0)=1) que
\lim_{s\to 0}\frac{\operatorname{arctg}(s)}{s}=1.
Isto quer dizer que, para s pequeno, \operatorname{arctg}(s) é equivalente a s: \operatorname{arctg}(s)=s(1+o(1)). Substituindo no limite,
\frac{2}{\operatorname{arctg}(s)}=\frac{2}{s(1+o(1))}=\frac{2}{s}\bigl(1+o(1)\bigr)^{-1}.
Como s\to 0^{+}, temos \dfrac{2}{s}\to +\infty. Portanto a expressão acima tende para +\infty.

Passo 6

Concluímos que a velocidade com que \operatorname{arctg}(x^{2}) se aproxima de \dfrac{\pi}{2} é da ordem de 1/x^{2}, o que faz o denominador da expressão original decair como 1/x^{2} e o quociente crescer como 2x^{2}. Assim o limite diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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