QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
\lim _{t \rightarrow 2^{-}} \frac{t^{3}-t^{2}-t-2}{t^{2}+2 t-8}.

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral pela esquerda
\lim_{t\to 2^-}\frac{t^{3}-t^{2}-t-2}{t^{2}+2t-8}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma função racional com numerador t^{3}-t^{2}-t-2 e denominador t^{2}+2t-8.
  • O limite é quando t se aproxima de 2 pela esquerda (valores de t menores que 2).
  • Se na substituição direta t=2 a expressão resultar em 0/0, teremos uma indeterminação que precisa ser resolvida (tipicamente por fatoração e cancelamento).

Passo 2

Teste de substituição direta: calculo numerator e denominador em t=2.
\text{numerador em }t=2:\;2^{3}-2^{2}-2-2=8-4-2-2=0.
\text{denominador em }t=2:\;2^{2}+2\cdot2-8=4+4-8=0.
Portanto obtemos a indeterminação 0/0. Isso indica que provavelmente há um fator comum (t-2) nos dois polinômios — vamos fatorar.

Passo 3

Fatoração do denominador (é quadrático, fatoramos por inspeção):
t^{2}+2t-8=(t-2)(t+4).
Expliquei: procuramos dois números cujo produto seja -8 e soma seja +2; são +4 e -2.

Passo 4

Fatoração do numerador. Como t=2 anula o numerador (vimos no passo 2), sabemos que (t-2) é fator. Podemos dividir t^{3}-t^{2}-t-2 por (t-2). Faço uma divisão sintética (método rápido para divisão por (t-2)).
Coeficientes do numerador: 1,\;-1,\;-1,\;-2.
Aplicando divisão sintética com raiz 2:
  • Trago 1 (primeiro coeficiente).
  • Multiplico 1 por 2 e somo ao próximo coeficiente: -1 + 2 = 1.
  • Multiplico 1 por 2 e somo ao próximo coeficiente: -1 + 2 = 1.
  • Multiplico 1 por 2 e somo ao último coeficiente: -2 + 2 = 0 (resto zero, confirma fator).
Assim o quociente é o polinômio t^{2}+t+1. Concluímos:
t^{3}-t^{2}-t-2=(t-2)(t^{2}+t+1).

Passo 5

Reescrevendo a função racional com as fatorações obtidas:
\frac{t^{3}-t^{2}-t-2}{t^{2}+2t-8} = \frac{(t-2)(t^{2}+t+1)}{(t-2)(t+4)}.
Para t\neq 2 podemos cancelar o fator (t-2):
\frac{(t-2)(t^{2}+t+1)}{(t-2)(t+4)}=\frac{t^{2}+t+1}{t+4},\quad t\neq 2.
Observação didática: isso é válido para valores próximos de 2 (à esquerda ou à direita) exceto exatamente em t=2, que não pertence ao domínio original. Para limites, basta analisar o comportamento quando t se aproxima de 2, não é necessário que a função esteja definida em 2.

Passo 6

Agora avaliamos o limite usando a expressão simplificada. A nova função \dfrac{t^{2}+t+1}{t+4} é um quociente de polinômios cujo denominador em t=2 é 2+4=6\neq 0; logo essa função é contínua em t=2. Para limites de funções contínuas, basta substituir o ponto:
\lim_{t\to 2^-}\frac{t^{2}+t+1}{t+4}=\frac{2^{2}+2+1}{2+4}=\frac{4+2+1}{6}=\frac{7}{6}.
Justificativa sobre o sentido lateral: como a expressão reduzida é contínua em 2, os limites pela esquerda e pela direita coincidem com o valor obtido pela substituição. Portanto o limite pela esquerda é \tfrac{7}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{6}

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