QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral pela esquerda
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma função racional com numerador
e denominador . - O limite é quando
se aproxima de pela esquerda (valores de menores que ). - Se na substituição direta
a expressão resultar em , teremos uma indeterminação que precisa ser resolvida (tipicamente por fatoração e cancelamento).
Passo 2
Teste de substituição direta: calculo numerator e denominador em
.
Portanto obtemos a indeterminação
. Isso indica que provavelmente há um fator comum
nos dois polinômios — vamos fatorar.
Passo 3
Fatoração do denominador (é quadrático, fatoramos por inspeção):
Expliquei: procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
; são
e
.
Passo 4
Fatoração do numerador. Como
anula o numerador (vimos no passo 2), sabemos que
é fator. Podemos dividir
por
. Faço uma divisão sintética (método rápido para divisão por
).
Coeficientes do numerador:
.
Aplicando divisão sintética com raiz :
Aplicando divisão sintética com raiz
- Trago
(primeiro coeficiente). - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao último coeficiente: (resto zero, confirma fator).
Assim o quociente é o polinômio
. Concluímos:
Passo 5
Reescrevendo a função racional com as fatorações obtidas:
Para
podemos cancelar o fator
:
Observação didática: isso é válido para valores próximos de
(à esquerda ou à direita) exceto exatamente em
, que não pertence ao domínio original. Para limites, basta analisar o comportamento quando
se aproxima de
, não é necessário que a função esteja definida em
.
Passo 6
Agora avaliamos o limite usando a expressão simplificada. A nova função
é um quociente de polinômios cujo denominador em
é
; logo essa função é contínua em
. Para limites de funções contínuas, basta substituir o ponto:
Justificativa sobre o sentido lateral: como a expressão reduzida é contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita coincidem com o valor obtido pela substituição. Portanto o limite pela esquerda é
.